CHAPITRE IX. 56g

par la méthode ordinaire, la complication des calculs empêcherait d’apercevoir la loi des coefliciens des- diverses puissances de z dans le produit. Mais, on peut obtenir ce produit, sans effectuer la multiplication, en observant que la forme d’un produit algébrique étant nécessairement indépendante de l’espèce des quantités représentées par les lettres qui entrent dans les facteurs, il en résulte que si l’on peut déterminer la forme du produis quand m' et m" sont des nombres entiers positifs, cette forme restera la même quels que soient m’ et m".

Or, quand rn et m" sont des nombres entiers positifs, les polynômes Xi, Xa sont les développemens des fonctions ( i -f-z.)"'', (1+2)"", et le produit de (i+z)m' par (î-f-z)*”” est (i-f-s)*|,+,n". D’ailleurs, m -\-m étant un nombre entier positif, on obtient le développement de (1 -f- z)m' en mettant au lieu de

m dans (1) ; le produit des polynômes X,, X„ est donc

1 etc.

D’après cette formule, on obtiendra le produit du polynôme (2) par le polynôme de même forme

A3' ■== 1 + m z -f- — . z’ -f-etc., -,

ert changeant m'^-rri' en m'-f- m"- f- m* dans (2) ; ce qui re- • vient à changer m en m'-f- W'4- m° dans (l). Dte sorte que

XiX , X , — +rn"+ma) z -f- z.

Si l’on continue à multiplier par, dés facteurs X^'Xs ,... X», de même forme,, et si l’on représenté par r la somme des » nombres rn, m“, 771*, etc., correspondans aux n facteurs.

X, , X, , X3 Xb j on aura ,

X,X,X,X< ... X.s= I + Z* + ete.

Cela posé.: pour déterminer la fonction X, lorsque m est . un nombre fractionnaire positif ^ (p et u sont des nombres

57w • ALGÈBRE,

ontierspositifs) , nous supposerons que chacun des n polynômes X,, X», Xs, . • • > est égal à X, de sorte que chacune des

n quantités rri , m", m", etc. ^devient égale àmouà^; lé produit de ces n poly nômes deviendra >X", et l’on aura >

». r > = £ 4- -f- P + etc. *=. n fois - =p. (’

Dope X" 5= * + p * -f- - -s9 *4* etc.

Mais , p étant un nombre entier positif; on sait que ^ . i +pz + )—P ~ ** + etc. = (t + sjf; , .

donc X*u=»(i $)*■{• droJi X =-(r4- a)". ® • ' .•

Cette expression de X démontre que nn désignant un nombre

fractionnaire positif quelconque -,,le polynexue (i) est le dé-

veloftpemeiit de (i -f- z)"G

a°. Lorsque m est un nombre, négatif , éntiér ou fractionnaire , on peut le représenter -par — tn', et ni! désigne un nombre positlf..Or , il résulte de la formulé (a) que

XX,== i-4-(éi4-m)a+ ^ — ; — 'a*-f-etc.,

et dans cette dernière relation ,, 'l’hypothèse m -f- nt' f= o donne \ XX, = ir d’où X=^. "

, • . . , % Ai

D’ailleurs, m étant supposé un nombre positif, entier ou fractionnaire', on a prouvé queTexpresSion

^.'4? etc. , •. • .

deOi,,est lè développement de ,{i -f* 2)m';' donc