De sorte ciüc. clans ce cas

Nous verrons ensuite comment on détermine a.

Pour démontrer cette propriété , en supposant toujours que1 le développement de (1 4rS)* est de la forme (v) , nous chéroherons deux expressions différente» du développement <lô (1 4- * 4" b)m, suivant les puissances entières positives et croissantes de h \ le coefficient de la première puissance de h devant être (e même dans chacun de ces développemensynOus en déduirons des éi piaillons. qui conduiront aux formules (2)'.

On obtient une première valeur de (i 4 z -J- A)m en changeant z en z 4 A dans (i) ; ce qui donne

(4) ...(i +2 + A)“= i+ a(2 + /,) + 6(2 + A)‘4 c(*+ hY+ etc .

•11 est facile de calculer le coefficient de la première puissance de h dans chacun des développemens de (z+A)*, (z-f-A)3, etc. ; car d’après ce qu’on a vu ( page 24, n° 18) , le produit des polynômes entiers

i+*i*+£i**+etc., 1 -(-«,2+^,2’ 4-etc., «+*3*+Î3i*+etc.,.. , étant un polyilome entier de la forme

1 + («. 4 «» 4 *3 • • . ) z 4* Bz4 + Cz3 4 etc. , il en résulte que n désignant un nombre entier positif, on a

(5) .... (1 4- «z + £2* -J- etc.)* = 1 -f* 4 Bz4 4-^z3 4* etc. j

et par conséquent ,

(6) . , . (1 4- z)* = t 4- nz 4- BV + C'z3+ etc.

Or, («4-A)* = ï»^i4^ ;

et en changeant 2 en -, la relation (6) donné

(.+ÿ=.+^+B'i;+ct„.

Si l’on multiplie les deux membres de cette dernière égalité par z", on trouvera (z 4- A)® = z® 4* nz*,A 4- B'z®-4A44 etc. Cette dernière formule donnant

(z 4- A)* = s*4* 2zA 4* etc. , (z 4- A)3 =z3 4- 3z*A 4 etc.,.-...,

on en déduit que le coefficient de la première puissance de A daps le développement (4) de (1 4 * + A)”4, est la dérivée

a 4-aAz43c,za4- 4***3+ etc. de cz34^=*4 etc.

Pour déterminer une seconde expression de («4 = 4 A)m, on observe qu’en changeant z en , la relation

(0- ..(' + î)"=i 4 as 4 bz% 4 etc.