CHAPITRE IX
donne
(' +;) *=1+0.^ + b Jï + etç.;
et en multipliant les deux membres de cette dernière égalité par z", on trouve
" (z -f h)m = z.m -f- azm—h 4. £*•— A* -f etc.
Si l’on change z en i + z, on aura (i + z +A)"^= (i+ay.+a (i+*)"~*à + 6(i+z)*,~*A*-f- etc.
De sorte que le coefficient de la première puissance de h dans ce second développement de (i -f-z -f- h)m, est a (i «f- z)m~\
Les deux expressions du coefficient de h dans le développe- . meut de J[i -V z-f- h)m, devant être les mêmes, il faut que
a ( i -J- z)”-1 es a ~h ubz 4- 3rz’ -f- etc.
Or, en multipliant les deux membres de cette dernière égalité par i 4- z , on trouve ' ' ’
- a (i. 4* s)1" — û -f- 7.b z -f- 3clz* -1- -1- etc.
D’ailleurs la relation (i) donne
a(i +Z)"1 ^a+a’z +abz' +*ocz3 + etc.
Et comme dan» ces deux développemeps de û(i 4- z)“ suivant les puissances entières positiveset croissantes de z , le» côefficiens dés mêmes puissances de z doivent être respectivement égaux, il faut que ; .• ■ v ’ ’ \
ai + a=a*, 3c-f-2i=ai, ^d + 3c = ac, etc. ; d’où
, etc.
Ce qui démontre la propriété énoncée.
Ainsi, toutes les fois qu’on sera certain que le développement de (r-f-z)" est de Ip forme* l -J- Hz -f- As* -f- etc., on pourra en conclure que
wf-r™ v'nf"
ALGEBRE.
,Nous allons démontrer que le développement de est toujours de la forme i + az b s* -j- cz3 + etc. , et que le coefficient a de la première puissance de s est égal à J’exposant m.
i°. Lorsque jn désigne un nombre entier positif, la formule (6) (page 57 2) prouve que le développement de (1 + 2)"*
est nécessairement de la forme
(1 + z)m = « + m z + àz* .f- cz3 -+• etc.
Ou a donc a = m-, et d’après ce qui a été démontre, la relation (3) donne
etc.
(:)•••(■ +zr=i+m*+ -
RemakQüe. S’exposant m étant un nombre entier positif, ce développement de (1 + z)m ne contient que rn + 1 ternies ; car d’après la loi évidente qui règne entre les ditfércus termes du développement (7) , le (m -J- i)1*".' terme, est
m (ni — O (m — 2) . . . 3 . a . 1
", ou z ,
et tons les termes sqivans disparaissent, puisqu’ils renferment le facteur m — m qui est ^fcéro. On a donc
. (8). . .(1 -f z)m = 1 + ms -f- . .+ s". »
Il est facile d’en déduire le développement de (z-f-/i)m; car
et la relation (8) donne'
m(m — 1) hm
la multiplication des deux membres de cette dernière égalité par zm conduit à ' . ..'
(y) . . .(p + h)m=zzm -f- mzm~'h -f- hm.
CHAPÎTAE IX. • 5-j5
La formule du biribme est donc démontrée pour un exposant entier positif -quelconque. >
a0. Lorsque l'exposant de la puissance que l’on veut développer est un nombre entier négatif j on peut le représenter par — ni j et m est positif. On a
(■+‘>-=(T^=(rh)"- -
Or, le quotient de i par i 4* z est ‘
• • >. 1 a ■+■ z* — *34* 2^ — *5+,etc.,> donc 1
Mais, ni étant- un nombre entier positif, la formule (5) (page- 5ç2) prouve que t
(t — z ■+-'bs‘ — z3 ,-f- etç.)4"— J — mz 4- Bz* + etc.
Donc (1 -f- z)-nv= î —mz -f- BV + etc. . ^ s
On obtiendra donc le développement de (1 -f- s)“m en remplaçant a par — m donnera ' ' '
(l + zrra =l-mî4
Le nombre m étant entier et positif, ce développement de ( t -fr z)-.m se prolonge à l’infini . ’ . • :
3°. Pour démontrer la formule du binôme dans le çqs
d’un exposant fractionnaire positif du négatif — , on ob-
serve d’abord que cette formule ayant été démontrée (î?) quand l’exposant est un nombre entier positif, on peut en déduire le moyen d’extraire la .racine d’un 1 polynôme quelconque ( n°’ i-38 et j39).: D’ailleurs, on a vu (i° et 20) que m étant un nombre entier positif, on a
• , ( 1 -{- z)m = 1 mz + bz* -f- ete. , .
1 (1 -f- z)— i — mz -f- b’ z* 4- etc. • t , ,
Si l’on extrait la racine n l>*'1 des deux membres de chaque
dans la formule (3) (page ce qui
rofm-fi) a m(m-fi) (m-f-2) , i — r- s— ; ; t— 3 + «te.
égalité, la règle du n° i3g donnera des résultats de la forme
(t+z)m =r-f-— Tt + Aa* + etc.,
( 1 -f- a) " = I % -f» A' a* 4- etc.
On obtiendra donc lea développemens de £i + *)* et de
(i -f- a) *,* en remplaçant successivement a par • et par
— — dans la formule (3) ( page frji).
Il résulte de ce qui- précède, que m désignant un nombre positif ou négatif, entier ou fractionnaire, le développement de(i + *}”est .
a5 -(-etc.
Remarque. La formule du binoinc donne le moyen de déterminerle développement de la raoine TO1'1'"' d’une quantité composée de plusieurs termes.
i*ar exemple, pour développer la racine quarrée de è’i — 4ca » on observe que -, ... -/ ' • • «
[/ b% t— 4 ca ~ b V'1 — 4 cb~‘a = i( 1 r- Ack~ *<*) * •
On obtiendra lé développement de ( I— 4cé~’«)“ en faisant m s= ^ . Z sa: — 4cé— so , dans l’expression précédente de (1 + a)"*; ce qui donnera
(1 — 4cZ>-’«)“ ssi i.-r'2cô— *a — 2c’i— ta*.— — r«tc.
• Si Von multiplie les deux membres par h, on trouvera'
^/■6* — 4 ca —=b — 2ci^"a — 2e*& 3#* ■*— 4c*i sa3 — etc.
Ce qui s’accorde avec le résultat auquel on est parvenu dans -la page 177. •' . .
