III I
I » ~ y ' y ” y — — etC. 1
les valeurs correspondantes de ^ seront
et, 10a, 1004, 10004, 100004, etc.
Ces valeurs de devenant de dix en dix fois plus grandes , on
conçoit qu’on parviendra toujours à une valeur de * plus grande que toute quantité donnée.
Remarque. Lorsque le numérateur m de la fraction ^ est donné j il est toujours possible de trouver la valeur du dénominateur C qui rend -z plus grand qu'une quantité donnée ; car l’inégalité J", donnant successivement
on voit que toute valeur arbitraire de £ plus petite que la
, et t
quantité connue , jouira de la propriété demandée.
4°. Lorsque le numérateur « de la fraction * ne changeant pas , le dénominateur £ varie et augmente continuellement en s’approchant indéfiniment de 00, la valeur de * diminue continuellement et s’approche indéfiniment de zéro. Enfin , lorsque £ = 00 , la fraction ^ se réduit à zéro.
Par exemple, si l’on conçoit que le dénominateur £ de la
et
fraction ^ prend successivement les valeurs de dix en dix fois plus grandes
ALGEBRE.
j, 10, 100, 1000, ioooo, etc.,
les valeurs correspondantes
de ■> seront
et
ioooo
, etc.
Ces valeurs de > devenant de dix en dix fois plus petites, on
conçoit qu’on parviendra toujours à une valeur de > plus petite que toute quantité donnée.
On démontrera comme ci-dessus que pour rendre la fraction moindre qu’une quantité donnée i' , il suffit de prendre
Il résulte de cette discussion que « désignant une quantité finie quelconque , on a
* * ° oo o
- = oo , — = o, ox oo = oo X o=«, - =«, — = - = «.
o oo o oo o
Ainsi: la division d’une quantité finie par zéro , donne un
quotient infiniment grand ; le quotient d’une quantité finie par l’infini est zéro ; le produit de zéro par l’infini et de l’ infini par zéro j le quotient de zéro par zéro et de l’ infini par l’infini t sont des quantités indéterminées.
Par conséquent : Pour qu’un produit dont un des facteurs est zéro j soit nécessairement nul j il faut et il suffit que le produit des autres fadeurs soit une quantité finie. Quand un facteur d’un produit étant zéro , un autre facteur est infini j la valeur du produit reste entièrement arbitraire.
Ces diverses propriétés trouveront des applications dans toutes les parties des Mathématiques.
