CHAPITRE II

Des Équations et des Problèmes du premier degré. Des Identités et des Inégalités.

$ Ier. Des Equations et des Identités.

36. Les égalités qui n’ont lieu que pour certaines valeurs particulières «les lettres qu’elles renferment, sont des équations; les. égalités qui subsistent quelles que soient les valeurs des lettres qu’elles contiennent, sont des identités. Ainsi :

L’égalité 3 -f- x = 7 est une équation j car elle n’est vraie que lorsqu’on y fait x — 4;

L’égalité ix— i =îx — î est une identité j car elle est vraie quelle que soit x.

Les deux quantités séparées par le signe — sont les deux membres de l’équation ou de l’identité; la quantité placée à gauche du signe = est le premier membre j et celle qui est à droite forme le second membre. Les quantités séparées par les signes -{-et — sont les termes de l’équation ou de l’identité.

Toute égalité dont V un des membres nJest que le résultat des opérations indiquées dans t autre membre , est une identité. Par exemple, le produit de a -f- b par a — b étant a* — 6% quels que soient a et b , la relation ( a + b) X (a — b) = a* — est une identité ; elle démontre que la somme de deux quantités multipliée par leur différence , donne la différence des quarrés de ces deux quantités. On fait souvent usage de cette propriété.

On dit qu’une équation est numérujue j lorsque les inconnues n'y sont combinées qu’avec des nombres donnés. L’équation est littérale , lorsque des quantités connues y sont représentées par des lettres.

Ainsi, l’équation 2X — ^ =y -f- a est numérique ,

et 2 ax — 5 = 4 y + 4"^ est «ne équation littérale.

Tout système de valeurs des inconnues qui rend une équation identique , est ce qu’on nomme une solution de cette équation.

Ainsi , le système x = 5, y = a , forme une solution de l’équation x + y = 7; car il réduit cette équation à l’identité 5 + 2 = 7.

Les équations x +y> = 7 , x — y = 3, devenant identiques , , lorsqu’on remplace x et y' par 5 et 2, le système x=5, y= 2, forme une solution des équations proposées, et l’on dit que ces valeurs de xety satisfont aux équations x+y» = 7, x — y = 3.

Pour déterminer le dbobk d’une équation qui ne renferme pas d’inconnues dans les dénominateurs, on fait dans chaque terme la somme des exposans des inconnues; la plus grande de ces somme est le degré de l’équation.

Ainsi, 2x — y = 5 est une équation du premier degré , et l’équation y‘xi = 1 — x6 est du septième degré.

Quand les inconnues entrent dans des dénominateurs, on ramène ce cas au précédent, en faisant disparaître ces dénominateurs par la méthode qui sera donnée ( pages 5o et 5i ).

La difficulté de résoudre les équations dépendant de leur degré et du nombre des inconnues, occupons-nous d’abord des équations du premier degré.

§ IL Des équations et des problèmes du premier degré à une seule inconnue.

37. Les transformations qu’il faut faire subir aux équations primitives pour parvenir aux valeurs des inconnues, sont fondées sur les propriétés suivantes :

i°. Lorsqu’à deux quantités égales , on ajoute une même quantité j les sommes sont égales ;

2°. Quand de deux quantités égales , un retranche une même quantité j les restes sont égaux ;

3°. En multipliant deux quantités égales , par une même quantité j les produits sont égaux ;