CHAPITRE II

équation la valeur de y en fonction de x, et en égalant ensuite ces deux valeurs. Car , en effectuant ce calcul , il vient

La dernière équation donne x — 3 , et la substitution de cette valeur de x dans l’une quelconque des valeurs de y, conduit à

Il est bien évident que la substitution de x=3 dans y=x-f-6

ou dans y = 12 — x , doit fournir la même valeur dey; car on

a tiré la valeur 3 de x, de l’égalité de ces deux valeurs dey.

Enfin , la forme particulière des équations,

y — x = 6, y -j- x — ia,

permet de simplifier les calculs ; car en ajoutant ces équations membre à membre, il vient 2y = 18 , d’où y — q; et en retranchant la ir* de la 2', on trouve 2x = 6 , d’où x — 3.

Si l’on compare les trois méthodes dont nous venons de faire usage, on verra qu’elles reviennent toujours à exprimer que Us inconnues ont les mêmes valeurs dans les équations proposées. Ces méthodes devaient donc conduire aux mêmes résultats.

Lorsqu’en combinant des équations, on fait disparaître une inconnue, on dit qu’on élimine cette inconnue.

Les trois méthodes que nous venons d’employer pour éliminer y ou x , ont reçu des noms qui rappellent les procédés dont on a fait usage. La ire est dite méthode d’élimination par substitution , la 2e par comparaison , la 3e par addition ou par soustraction.

2e Exemple. Soient (i)...y 4- 2x = 8, 3y + rjx= 27.

La première équation donne y = 8 — ■ 2x.

La substitution dé la valeur 8 — 2x de y, dans la seconde équation , conduit à

(2) . . . 3(8 — 2x) -f- <jx = 27 ; on en déduit x = 3.

Substituant cette valeur de x dans la relation y = 8 — 2x, on trouve y = 2. 1

On parvient à la même solution , x = 3, y = 2, en égalant

les valeurs dej tirées des équations (i)i cal *1 vient

a7 — 7* q 2 l~lx

La dernière équation donne x = 3 ; et la substitution de cette valeur de x dans l’une quelconque des deux valeurs de conduit à y = 2.

Les valeurs x — 3, y — 2 , satisfont aux équations proposées , car elles donnent

y + îi=s+2X3=8, 3j4-7*=3X2 + :X3=27.

4i .Le système de trois équations à trois inconnues , détermine les valeurs de ces inconnues.

En effet , si l’on prend dans l’une quelconque de ces équations , la valeur de l’une des inconnues x , y, z, en fonction des deux autres , par exemple , a en fonction de x et y, la substitution de cette valeur de z dans les deux autres équations, fournira deux équations entre x et y, qui détermineront les valeurs de ces deux inconnues; et en substituant ces valeurs dans l’expression qu’on avait déjà trouvée de z en fonction dex et y, on obtiendra la valeur de z.

Exemple. Soient les équations

(i) 3x-f2y4-z=i6, 2x-f-2y-f-az=i8, 2r4-2jf-f-z=i4-

On tire de la première , z= i b' — 3x — 2 y.

La substitution de cette valeur de z dans les deux autres équations, conduit à

On déduit de ces deux dernières, x = 2 , y = 3 ; et ensuite la relation z = 16 — 3x — 7.y, donne z = 4*

On parvient également à la solution x = 2,y = 3,z = 4> en égalant entre elles les valeurs de z tirées des équations (i) , car ces valeurs sont

(2)...z=i6 — 3x — 2^y, z— 9 — x — y, z — \{ — 2X — 2j. Égalant successivement la ir* valeur de z à la 2* et à la 3e,

CHAPITIVE II.

on exprime que ces deux dernières sont égales entre elles, et il vient

16 — 3x — 2^ = 9— x — y, 16— 3x— 2y/= 14 — 2x — ay.

Ces deux équations en x et y, donnent x = 2 ,y ~ 3.

On a obtenu les valeurs de x et y, en exprimant que les valeurs (2) de z sont égales entre elles. La substitution de ces valeurs de x et y, dans l’une quelconque des relations (2), devra donc conduire à la même valeur de z; et en effet, cette substitution donne z=

Remarque. La forme particulière des équations (1) permet de simplifier les calculs précédens; car en retranchant successivement la 3e équation , de la ire et de la 2®, on trouve

(3X + 2J+ Z)— (2X + 2J+Z) = l6— l4, d’ollX = 2, (2X+2J + 2Z)— (2X+2y-f z)=l8— d’où Z = 4 ,

et la substitution de ces valeurs des inconnues x, z, dans l’une quelconque des équations proposées , conduit à y = 3.

42. En général : Pour résoudre n équations du premier degré entre n inconnues , on prend dans l’une quelconque des équations la valeur d’ une inconnue , comme si tout le reste était connu ; la substitution de cette valeur dans les autres équations conduit à n — I équations entre n — 1 inconnues. Opérant sur ces nouvelles équations comme sur les proposées , on obtient n — 2 équations j, entre n — 2 inconnues. Continuant ces calculs , on parvient à 2 équations entre 2 inconnues, et enfin à une équation à une seule inconnue ; cette dernière équation détermine l’inconnue qu’elle renferme ; et en remontant successivement aux équations précédentes, on en déduit les valeurs des autres inconnues.

Exemple. Soient les quatre équations,

La première donne t=i4 — x —y — z.

Substituant cette valeur de t dans les trois autres équations,

on trouve , toutes réductions faites ,

Pour résoudre ces trois équations entre x, y, z, on tire de la première ,

et la substitution de cette valeur de z dans les deux autres équations en x ,y, z , conduit à

Ces deux équations entre x et y donnent

La substitution de ces valeurs de x et y dans z=g — x — y, donne z = 4 i et en faisant x = 2 , y» = 3 , z = 4 , dans t = i4 — x — y — z, il vient t = 5.

Le système x = 2.,y — 3,z — /\,t = 5, rend les équations proposées identiques.

Remarque. On peut simplifier les calculs précédées; car en retranchant la 2* des équations proposées delà i1*, il vient

(sc+y+*+0 — (*+7+* — 0=I4 — 4; d’où t== 5.

Si l’on retranche de même la 3* et la 4* équation de la i", on parvient à

Substituant la valeur 5 de t, dans les deux dernières équations , on trouve a = 4> y — 3.

Enfin , si l’on fait y — 3 , z = 4 > * = 5 , dans l’une quelconque des équations proposées , on trouvera x = 2.

Lorsque toutes les inconnues n’entrent pas à la fois dans chacune des équations proposées, l’application de la règle générale exige que l’on examine avec soin, de quelle manière les inconnues sont liées entre elles, afin de pouvoir les déduire les unes des autres. En voici des exemples :

i” Exemple. Soient les quatre équations