CHAPITRE II

Les trois, premières , ne renfermant que les trois inconnues x,y,z , détermineront ces inconnues; et en effet, ces trois équations donnent

Égalant les deux premières valeurs de x , on trouve y = a.

La relation x = 5 — y donne x — 5 — a = 3 ; et ensuite l’équation

x=2+z donne z — x — 2=3 — 2=1.

Substituant la valeur 1 de z , dans la relation 2z + t — 4 , on trouve £ = 2.

Il est facile de s’assurer que les valeurs x = 3 ,^=a , z = 1 , t = 2, satisfont aux équations proposées.

2* Exemple. Soient les quatre équations

as — t=3,. 3x — z=a, y-|-£=8, 2x-f-3 y= i3.

Pour éliminer £, on tire de la t" équation t = as — 3; on substitue cette valeur de £ dans y + £ = 8 , et l’on trouve y -f- 2a = 1 1.

De sorte que, les inconnues x,y, z, dépendent des équations 3x — z = 2, 2z=n, ax + 3 y=i3.

La 1" équation doune s = 3x — a.

Substituant cette valeur de z dans y + 2z = 1 1 , il vient

y -f 6x= i5. Or , 2x-f-3y= i3.

Ces deux équations entre x , y donnent x = 2 , y = 3.

La relation z = 3r — 2 , conduit à z = 6 — 2 = 4; et ensuite , l’équation £ = 2z — 3 , donne £ = 5.

On peut s’assurer que les valeurs

x = a,^ = 3, z = 4. t=5, satisfont aux équations proposées.

43. Lorsqu’on a m équations entre m-\- n inconnues j on peut assigner des valeurs arbitraires à n inconnues; car les ot équa-

•jo ALGÈBRE.

tions fournissent ensuite les valeurs correspondantes des m autres inconnues.

Exemple. Soient, 3x-f- ay'-f- s = 16, ax + 2y -f- a = 14. On peut donner des valeurs arbitraires à l’une des inconnues x ,y , z; les deux équations proposées fourniront les valeurs correspondantes des deux autres inconnues.

Si l’on fait z = 4 , les équations données se réduiront à

3x + 2 y=i2, ax-f" 2JK= lo> d’où x=a, y = 3.

44- Lorsqu'un a m + n équations entre n inconnues , Us valeurs des n inconnues se déduisent de n quelconques des équations proposées j et pour que U système des m-\- n équations admette une solution , il suffit et il faut que Us vaUurs de ces inconnues satisfassent aux m autres équations.

i,r Exemple. Soient x = x — y — a, 2x — 3y = i.

Les deux premières équations donnent x = 5, y~ 3. Ces valeurs satisfaisant à la 3* équation 2X — 3y=i , le système proposé admet la solution s^=5,y = 3.

2e Exemple. Soient x 4-^ = 8, x — y =2, ax — 3y =5. Les deux premières équations donnent x = 5 , y — 3 ; et ces valeurs de x ,y ne satisfont pas à la 3e équation ax — 3y =5. Le système des équations proposées n’admet donc aucune solution.

ProbUmes qui conduisent à un nombre d’équations du premier degré égal à celui des inconnues.

45. i,r Problème. On a des pièces de a francs et de 5 francs ; il s’agit de payer 26 francs avec dix de ces pièces. ( Arithm . , 60' prob.j pag. 146,)

ire Solution. Si l’on donue x pièces de 2 francs et y pièces de 5 francs , la valeur de ces x -f- y pièces sera x fois af -f-y fois 5* ou ax+5y francs. Or , le nombre total de ces pièces doit être 1 o, et elles doivent valoir a6 francs. Donc,

■ , x4~y=io et • ax + 5^ = 26.

La ir* équation donne y = 10 — x; substituant cette valeur