I OOOO = X

On en déduit, x = 6oooo, -x=3oooo, ^x = aoooo.

3e Solution. Pour prendre plus facilement la moitié et le tiers de l’héritage, on le désignera par 6x francs; les parts respectives du fils, de la fille et de la veuve, seront 3x , 2x et loooo francs; leur somme devant composer l’héritage 6x francs, on a

3x -f- 2x + 1 0000 = 6x ; d’où x = 10000, 6x = 60000, 3x = 3oooo , 2x = 20000.

6* Problème. Les mises de trois associés sont Z, y et I francs; ces mises sont restées le même temps dans la société; le gain total est a francs. Il s’agit de trouver les gains des associés.

La mise totale Z + y -f- I francs , a rapporté *f de bénéfice.

La mise if rapporte donc

francs de bénéfice.

On obtiendra donc les gains x,y,z francs relatifs aux mises G , y, francs, en formant les trois par G,yeli'. Ainsi,

produits de francs ,

(i)...x c+—pXC,>— e + y + ^Xy,z—

Ces formules démontrent que pour obtenir les gains demandésj il suffit de diviser le gain total par la somme des mises j et de multiplier le quotient par les nombres de francs de chaque mise. Les produits expriment les nombres de francs des gains relatifs aux mises proposées.

i" Exemple. Soient £ = 3oo, y=5oo, /=' 700, a. =4^°°.

On trouve * , . — i=3, x=qoo, y=i5oo, 2=2100.

L’Aritbmétique a conduit au même résultat. ( Arith.j 19* probLj page 122.)

2* Exemple. Soient f=345, 67, y=468,84, ^=4^27, g5, « = 427,3968. On trouve

L’Arithmétique a conduit au même résultat. ( Arith ., 20e probl.j page 122.)

7* PsOBLiME. Les misesde trois associés sont G, -y et francs. La première mise est restée b mois dans la société j la seconde c mois j et la troisième d mois. Le gain totalest « francs. Trouver le gain relatif à chaque mise.

La mise G francs, qui est restée b mois dans la société , rapporte autant que b fois G francs pendant un mois. Par une raison semblable, y francs placés pendant c mois, et è francs placés pendant d mois, rapportent autant que c fois y francs et d fois i' francs pendant un mois.

Par conséquent , pour trouver les gains cherchés , il suffit de résoudre cette autre question :

Les mises de trois associés sont bG , cy et dS' francs ; ces

CHAP1ÎRE II.

mises sont restées pendant un mois dans la société ; le gain total est » francs. Trouver les gains des associés.

On obtiendra donc les gains x,y,z francs demandés, en remplaçant dans les formules (i) , les mises C, y, ï, par LC, cy, dé~. De sorte que,

Æ = bC + cy + dï X U’ y~ bC + cy + dt*- Cy'

* = bC + cy + dï X d/'-

Exemple. Soient C = ioo, y = a5o, <JS= 5o,

b— 3, c=a, — 1 4 > «=45oo.

On trouve 1 = 900, y=i5oo, z = 2ioo.

L’Arithmétique a fourni le même résultat. ( Arith ., 21e probl.j pages 122 et 123. )

8* Problème. Trois joueurs conviennent que le perdant doublera l’argent des deux autres. Chaque joueur ayant perdu une partie j dans f ordre indiqué par le rang des joueurs , ü reste itf au 1* joueur , 28e au a*, et lif au 3® joueur. Combien chaque joueur avait-il d’argent en se mettant au jeu? {Arith., qZ* probl.j page i53.)

On supposera que les joueurs entrent au jeu avec x,y et z francs.

Le Ier joueur ayant perdu la 1" partie, donne y francs au 2' joueur et z francs au 3® ; il ne lui reste donc que x — y — z francs. Ainsi, à la fin de la ir® partie, le premier joueur a x — y — z francs; le a® a 2 y francs, et le 3' a 2z francs.

On trouvera de même, qu’à la fin de la 2' partie, le 1" joueur a 2(x — y — z) francs, le 2' a 3 y — x — z francs, le 3® a 4z francs; et qu’après la 3® partie, le i*r joueur a 4(x — y — z) francs, le 2' a a(3y — x — z)francs, et le 3® a 7Z — x — y francs.

Les équations du problème sont donc 4(x — y — z) = a4, a(3y — x — z)=a8, 7Z — x — y-xzitp, elles se réduisent à

(i)... x — (H-i) = 6, 3y — (x+z)=i4, 7*— (x-fy)=i4.

On déduit de ces trois dernières, x = 36, y — 20, s— 10.

Remarque. On simplifie les calculs en observant que l’argent total des joueurs devant rester constamment le même, on a, x + y -f- 2 = 24 + 28 -j- 14 = 66; d’où

-f~ Z ” 66 — x, xH-s=66 — y, x-f-y = 66 — Z.

Ces trois dernières relations réduisent les équations (1) à x — (66 — x)=6, 3y — (66— y)= 14, 72 — (66— z)= 14.

Ces trois dernières donnent x = 36, y=r2o, z = io.

9e Problème. Un pire dit à son fils : Il y a 90' dans ces quatre bourses; si je mettais 5f dans la ire, si j’ ôtais If de lai* , si je triplais l'argent de la 3% et si j'ôtais la moitié de l'argent de la 4% chaque bourse contiendrait alors la même somme. Combien y avait-il d’argent dans chaque bourse ?

Solution. Soient x,y,z et t francs, les sommes d’argent contenues dans les quatre bourses. Si l’on effectue les opérations indiquées, les bourses renfermeront alors

x-j-5, y — 4> 3s, et t — ou ^ t, francs.

Ces quatre sommes devront être égales entre elles ; et comme les quatre bourses devaient d’abord contenir 90f , toutes les conditions du problème sont exprimées par les équations

Pour résoudre ces équations, on tirera des trois premières , (,)... y=x + 9, z = i(x + 5), t — a(x + 5).

Substituant ces valeurs de y, z, t, en fonction de x , dans la 4' équation, on obtiendra une équation en x seul qui donnera x = 16. Mettant cette valeur de x dans les relations (1), on trouvera y — i5, 2 = 7, t = 42-

De sorte que les quatre bourses contenaient i6f, a5f, 7r et 4if-