CHAPITRE II

11 est facile de s’assurer que ces nombres satisfont à toutes les conditions du problème.

2' Solution. On peut résoudre la question proposée, en né faisant usage que d’une seule inconnue. En effet : Supposons qu’après avoir effectué les opérations indiquées , chaque bourse contienne 3x francs; alors, 3x francs exprimera l’argent de la ire bourse augmenté de 5 francs; la ire bourse contenait donc 3x — 5 francs.

On verra de même qu’il y avait 3x -J- 4 francs dans la 2* bourse, x francs dans la 3e, et 6x francs dans la 4' bourse. Or , ces quatre bourses devaient renfermer 90 francs. Donc,

(3x — 5) -j- (3x + 4) + x *+* 6x = 9°; d’où x=7.

On en déduit que les bourses contenaient i6f, 25f, et 42 francs.

10* Problème. On a formé trois tas de 1 5 points chacun , avec des cartes d’un jeu de piquet de 32 cartes. La première carte de chaque tas a été comptée pour sa valeur (Tas vaut 1 1 points j les figures valent 10, et les autres cartes valent le nombre de points qu’elles indiquent). Les autres cartes de chaque tas n’ont été comptées chacune que pour un point. On connaît le nombre des cartes qui n’ont pas été employées pour former les trois tas. Il s’agit d’en déduire le nombre total des points formés par les trois premières cartes des trois tas j c’est-àdire par les trois cartes qui ont été comptées pour leurs valeurs.

Si l’on désigne par * le nombre total des points formés par les trois premières cartes des trois tas, par y le nombre des points de la ire carte du Ier tas, par z celui des points de la 1" carte du 2* tas, et par t le nombre des points de la ire carte du 3e tas; le Ier tas contiendra i5 — y cartes qui ne compteront chacune que pour un point; de sorte que le i,r tas sera composé de i5— -y + i ou de 16 — y cartes. De même, le 2* tas contiendra 16 — z cartes, et le 3* sera formé de 16 — t cartes. Le nombre total des cartes des trois tas sera donc (16— v) + (i6 — ï)+(i6--<) , ou 48 — {y +* -f- 0 > ou 48 — *•

Le nombre des cartes qui ne font pas partie des trois tas.

8o ALGÈBRE,

c'est-à-dire le nombre des cartes qui restent, est donc 3a — (48 — *), ou x — 16.

Par conséquent, Pour obtenir le nombre x de points demandé , il suffit d’ajouter 16 au nombre des cartes qui n’ont pas été employées à former les trois tas.

Par exemple, supposons que la ir* carte du i*r tas soit un as , que la i" du a* tas soit un roi, et que la ir* carte du 3e tas soit un huit ; la somme des points de ces trois cartes sera il + IO-1-8, ou 39. Pour compléter i5 dans chaque tas, on ajoutera 4 cartes à l’as , 5 cartes au roij et 7 cartes au huit. Le i*r tas sera de 5 cartes, le a* de 6 cartes, et le 3e de 8 cartes; ce qui fera 19 cartes en tout; il restera 3a — 19 ou 1 3 cartes- Connaissant le nombre 1 3 des cartes qui restent, si l’on y ajoute 16, la somme 39 exprimera effectivement le nombre des points formés par les trois premières cartes des trois tas.

il* Problème. On a mi lé » litres de vin à S sous le litre, et x litres à S' sous le litre. Déterminer le prix C" sous du litre de ce mélange. On suppose que le volume total du mélange est égal à la somme des volumes des quantités mélangées.

Les * + a litres du mélange valant *£-{-*'? sous, un litre

, . . uC + et'C ^

de ce mélangé revient a ^ sous. On a donc

Cette formule résout le problème proposé. Elle nous apprend que pour obtenir le prix d’une unité de mesure d’un mélange quelconque , il suffit de multiplier le prix d’une mesure de chaque espèce par le nombre de ces mesures, et de diviser la somme de ces produits par le nombre total des mesures du mélange. (Arith. , page i3o.)

Nous allons faire voir que la formule (1) fournit la solution des problèmes que nous avons résolus en Arithmétique sur les mélanges de deux liquides; elle donne le moyen de calculer