CHAPITRE

il 4- * t'

(<t -f- •') t + « t* ; d’où (î). . . 1 = J j j/- * *

La formule (i) résout le problème proposé; elle démontre que pour trouver le titre de l’alliage qui résulte de la fonte de plusieurs lingots j il suffit de multiplier le poids de chaque lingot par son titre , et de diviser la somme de ces produits par le poids total de l’alliage. (Aritli., page * 38.)

Nous allons faire voir que la relation (i) conduit aux solutions des problèmes que nous avons résolus en Arithmétique, sur les alliages de deux métaux; elle fournit le moyen de déterminer l’une quelconque des cinq quantités a, a , t, t' , t“ , quand les quatre autres sont données.

Lorsqu’on voudra exprimer que l’or est parfaitement pur , on supposera que son titre est égal à l’unité; et quand un lingot ne contiendra pas d’or, son titre par rapport à l’or sera égal à réro.

i,r Exemple. On fait fondre ensemble , 70 grammes d’or au titre 0,90 j avec 3o grammes d’or au titre 0,80 j trouver le titre t" de l’alliage qui en résultera. ( Arith. j 4 8e probl.j page i38.)

On connaît * = 7 o, t = o,go, » =3o, t = n,8o.

Substituant ces valeurs dans la formule (1), on en déduit t"— 0,87.

2* Exemple. Dans quelle proportion doit— on allier de l’or à 0,90 de fin j avec de l’or à 0,80, pour composer un alliage au titre 0,87 ? ( Arith . 5o* probl.j page 189.)

On connaît 7 = 0,90, t'=o,8o, <" = 0,87.

Il s’agit de trouver le rapport des inconnues <*, a'. La formule (1) donne

ce qui détermine le rapport demandé.

Pour que la question soit possible, il faut et il suffit que la valeur (2) du rapport demandé soit positive; ce qui exige que t" soit compris entre t et t'.

Substituant les valeurs de t , t' , t" , la formule (a) donne

ce qui détermine le rapport demande de a à a.

Si l’on prend arbitrairement«=70, on trouvera a ~ - «=3o.

3e Exemple. Un orfèvre a deux lingots d’or, dont les titres sont 0,90 et o,8o. Combien doit-il prendre de grammes de chaque lingot pour composer 1 00 grammes d’or au titre 0,87 ? ( Arith ., 5l* prob. , pages l3g et l4°0

Ori connaît < = o,go, /=o,8o, <* = 0,87.

Les inconnues a, a! doivent satisfaire aux conditions a -j- a ~ 1 00 , 4* *’) t * — et *4“ aV.

Dn déduit de ces deux équations

et — ; , et ~~ ;

Substituant les valeurs de t,/,l“, on trouve «=70, «'=3o.

4* Exemple. Un orfèvre a deux lingots y le premier est composé de 270 grammes d’or et de 3o grammes de cuivre y le deuxieme est formé de 4<> grammes d’or et de 10 grammes de cuivre. Combien doit-il prendre de chaque lingot pour composer un troisième lingot, du poids de 60 grammes , qui contienne 5î.*r,2 d’or et 7<r,8 de cuivre? ( Arith . , 52 * proh. , page i4°0

On déduit de la règle générale qui a été donnée en Arithmétique(pag. 137), que les titres respectifs t,£ ,t" , des trois lingots par rapport à l’or, sont

Les inconnues a, a’ , dépendent des équations

et -f- a! = 60 , (<• — f— a') t"xsz At -4* a’ t? .

On en déduit

t-tf » a—~nrr~-