CHAPITRE Ii

<tt grammes d’or pur, el les et' grammes du 2* lingot au titre t' , contiennent «Y grammes d’or pur; le 3° lingot composé de ces a -f- a! grammes, renferme donc *t-\-ut grammes d or pur. Or, ces «+ et grammes d’alliage doivent être au titre t"; ils renferment donc * )t" grammes d’or pur. On a donc

ut <tY = (« -f- a) t". D’ailleurs , a -f- et' = C .

On déduit de ces deux équations

Les relations (2) détermineront les titres t,t des trois lingots par rapport à l’or; et ensuite les formules (3) donneront les valeurs des inconnues

Si l’on veut exprimer «et a! en fonction des données primitives a, b, a, b', a", V , on remplacera t, i et t" par leurs valeurs (2), et les relations (3) conduiront aux formules (1).

PitouLÙMii Composer un alliage d’or et d’argent qui pèse a grammes j de manière que le prix d’un gramme d’alliage soit C francs. Les prix respectifs d’un gramme d’or et d’ argent sont y et S~ francs. Combien faut-il prendre de grammes de chaque métal j pour former l’alliage demandé ?

Si l’on prend * grammes d’or et y grammes d’argent, on aura

x + y=», yx + — d’où

Or, y> «J'; et pour que la question soit possible , il faut que C soit compris entre y et i'-, donc

Et en effet, quand ces trois inégalités ont lieu, les formules (1) conduisent à des valeurs positives et finies des inconnues x, y.

Si C n’était pas compris entre y et S ', les formules (1) indiqueraient l’impossibilité du problème en donnant des valeurs négatives de x et y.

1 5' Problème. Un père ordonne j par son testament 3 que sa fortune sera partagée entre ses trois enfans et sa veuve de la manière suivante : le Ier prendra le tiers de l’héritage plus 4ooof; le 2' prendra le quart de la part du i'r, moins 2ooof; le 3e prendra la moitié de la somme des deux premières parts ; et le reste de l’héritage appartiendra à la veuve ; elle reçoit 3i5oo francs. Il s'agit de trouver la valeur de l’héritage , ainsi que les parts des enfans. ( Arilh .j 74 e prob.j page 1 54-)

ir' Solution. Soit x francs la valeur de l’héritage, et représentons les parts des trois enfans par y, z et t francs. L’énoncé de la question conduit aux équations

(>)••• y = ^* + 4°oo, (2)... z = ^y — 2000,

(3)... t = ^ (y + z) , (4)... x — (y + s+f) = 3l5oo.

Pour en déduire x , y, z et t , on tire d’abord des trois premières équations les valeurs de y, z et t en fonction de x. La valeur (i) de y substituée dans (2), donne

(5)... 2. = |Qx + 4000)-

Mettant dans (3) , les valeurs (1) , (5) , de,y et z , on trouve

(6)... t — — 7 x •+• i5oo.

Si l’on substitue dans (4) les valeurs (i), (5), (6) , de y, z, t, on obtiendra une équation en x qui donnera

Connaissant x , les relations ( 1 ) , (5) , (6), conduiront à

y = 36ooo, z—'jooo , i = 2i5oo.

2e Solution. Il est facile de voir qu’on peut résoudre la question proposée, en ne faisant usage que d’une seule inconnue. En effet, si la valeur de l’héritage était connue, il serait facile d’en déduire les parts des trois enfans, en effectuant les opé-