CHAPITRE II

2' Problème. Veux courriers partent au même instant et

marchent dans le même sens , sur une ligne droite; le i*r courrier a d lieues dC avance sur le 2' et parcourt v lieues par heure; le 2' courrier fait v" lieues par heure. Il s’agit de prouver dans combien d’heures les courriers se rencontreront et quels seront les espaces qu’ils auron t parcourus.

On suppose que les vitesses v, v", des courriers sont constantes j c’est-à-dire que les espaces qu’ils parcourent sont proportionnels aux temps employés à les parcourir. Dans ce cas, le mouvement est uniforme. , et l’espace parcouru pendant chaque unité de temps mesure la vitesse du mobile.

Pour que les courriers puissent se rencontrer, il faut que celui qui est en arrière marche le plus vite. Donc v" v

Cela posé : soit x heures le temps pendant lequel les courriers doivent marcher pour se rencontrer, et désignons par d' et d" lieues les distances des points de départ du 1er et du 2e courrier au pointde rencontre; les espaces parcourus en x heures par ces courriers seront vx et v"x lieues; de sorte qu’on aura

ci = V X , cl =vx.

Mais, quand le 2' courrier joint le Ier, l’espace qu’il a parcouru doit être égal à l’espace parcouru par le «eI courrier , augmenté de la distance dont il était en arrière. On a donc

d" = d! -f- d , ou v"x = vx -f- d.

On en déduit

Les formules (1) résolvent le problème proposé ; car elles déterminent les valeurs des inconnues x, d', d", en fonction des données v, v ", d.

Les raisonnemens employés dans l’Arithmétique ( page i52), conduisent aux mêmes résultats. En effet ; puisqu’on une heure le 1er courrier fait v' lieues, tandis que le 2' courrier fait v" lieues, le 2* courrier se rapproche du iet de v" — v' lieues par

heure ; il se rapproche donc d’une lieue eu —5 Mais pour

joindre le Ier courrier, il doit s’en rapprocher des d lieues dont il était en arrière; ce rapprochement aura donc lieu en

. d , heures. Les espaces parcourus pendant ce temps par le

1" et le a® courrier seront

fois 1/ lieues, et -r— — -, fois

v* lieues. Ce qui conduit aux formules (1).

Nous allons discuter les formules (1) en établissant des relations particulières entre les données, et les conséquences que nous en tirerons seront toujours d’accord avec celles qui se déduisent- immédiatement de l’énoncé du problème.

Supposons que d et v" ne changeant pas, v varie-

i°. Quand v augmente et s’approche indéfiniment de v", sans

dépasser v" , la valeur — ? de x reste positive et augmente in-

définiment; ce qui exprime que plus le 1er courrier marche vite, plus il faut de temps au a® courrier pour l’atteindre. Celte conclusion est celle qu’on déduirait de l’énoncé du problème.

a°. Lorsque = la valeur de x devient infinie; ce qui exprime que les vitesses des courriers étant égales, ces courriers ne pourraient se rencontrer qu’après avoir marché pendant un temps infiniment grand; ce temps ne pouvant jamais finir,. l’Algèbre indique ainsi que les courriers ne se rencontreront jamais.

3°. Lorsque v" — v' et d sont nuis , la valeur de x , qui se présente sous la forme - , est indéterminée-, car elle dépend de l’é—

quation [y" — r') x=d, qui est vraie quel que soit x.

L’Algèbre indique donc que si les courriers marchent également vite et partent en même temps d’un même point pour suivre la même route , le nombre d’heures après lequel ils se rencontrent reste arbitraire; c’est-à-dire qu’après un temps quelconque, les courriers sont ensemble. Ce qui est d’ailleurs évident. -