CHAPITRE

La distance qui sépare les courriers ne saurait devenir nulle, niais elle diminue continuellement à mesure que n augmente, et peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Dans le 2e problème j(2°, page 92), la valeur infinie qu’on obtient pour x, lorsque </' = «>', indique également que les courriers ne sc rencontreront pas, mais avec cette différence, que la distance qui les sépare reste invariable.

Les valeurs infinies des inconnues n indiquent donc pas toujours le même genre d’impossibilité.

4e Problème. Un père ordonne par son testament que faîne de ses fils prendra ioof sur la totalité de l’héritage , plus le dixième de ce qui restera ; que le second enfant prendra 20of et le dixième de ce qui restera lorsqu’on aura diminué l’héritage de 200f et de la ire part ; que le troisième prendra 3oof, plus le dixième de ce qui restera; et ainsi de suite. Toutes les parts se trouvent égales. Il faut trouver la valeur de l’ héritage, la part de chaque enfant ^ et le nombre des enfans.

Si l’on désigne par x francs la valeur de l’héritage, on trouvera que les deux premières parts sont ( x -+■ 900 ) et TSî (9C-f- 17100) francs.

Ces deux parts devant être égales, on a

tz (•*• + 9°°) = t'oo (9r + 1 7000); d’où a: =8100.

Si l’on distribue l’héritage 8100 francs selon les volontés du testateur , on verra que chaque enfant reçoit 900 francs, et qu’il y a neuf enfans.

Remarque. Pour déterminer l’inconnue x, ou a seulement exprimé que la part du fils aîné était égale à celle du second enfant , et cependant la valeur de a: a satisfait à toutes les autres conditions du problème. Si l’on veut découvrir à quoi tient cette circonstance particulière , on calculera successivement les différences entre les parts des enfans ; on trouvera que ces différences contiennent le facteur commun x — 8100; la valeur x — 8100 réduisant ces différences à zéro, toutes les parts deviennent égales, comme l’exige l’énoncé.

Les problèmes de cette espèce 11’étant possibles que lorsque

ALGEBRE.

les données satisfont à des conditions particulières, nous allons chercher ces conditions, en résolvant la question suivante:

5* Problème. On partage une somme inconnue x francs entre plusieurs personnes. La ir* reçoit x francs.plus la n‘imt partie de ce qui reste après avoir prélevé ces » francs sur les x francs. La 2' personne reçoit 2« francs, plus la ri*"’ partie de ce qui reste lorsquJon a prélevé sur les x francs , les 2* francs et la lr* part. La 3e reçoit 3« francs , plus la n'im‘ partie de ce qui reste lorsqu’on a prélevé sur les x francs, les 3* francs et la somme des deux premières parts ; et ainsi de suite. Il s’agit de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que la question soit possible, et de déterminer la valeur z francs de chaque part, le nombre m des parts , et la somme x francs qui a été partagée. On connaît » et n.

Nous exprimerons d’abord que toutes les parts sout égales entre elles. Nous en déduirons la valeur de la somme x francs de ces parts , et le nombre m des parts.

Soient, y, , yt , y 3 , . . . , ym , les m parts. D’après la loi donnée pour la formation de ces parts , on a

X — 2.0L — yv