CHAPITRE II

« — ^(el4-j?)=o; d’oii >=(«— 0«.

La seule condition nécessaire et suffisante pour l’égalité de toutes les parts est donc qu’elles aient chacune pour valeur ( n — i) a. De sorte que

Ou trouvera la somme x qui satisfait à cette condition , en égalant la i” part à (n — i)«; ce qui donnera

et — }— — = (» — l)ce; d’oii x = (» — i)’ a.

Cette valeur de x exprime que toutes les parts sont égales à (/» — 1) », et que leur somme est ( n — i )’*.

Les nombres n, », étant donnés , on en déduira les valeurs d’une part quelconque (n — i)a, et de la somme (n — i)5et de toutes les parts ; et comme on a exprimé que toutes ces parts sont égales entre elles, on obtiendra leur nombre en divisant (/» — i)’et par(n — i) et. Le quotient n — i sera donc égal au nombre m des parts. De sorte que m = n — i .

II est facile de s’assurer que si l’on partage la somme (n — i)*ct d’après la loi énoncée , chaque part sera égale à (n — i) ».

Exemple. Soient *=ioo, n=io. On en déduira x= 8100. Chaque part sera (n — 1) a francs, ou 900 francs, et le nombre des parts sera n — 1 ou 9. Ce qui fournit la solution du 4* problème. ( Page 95.)

Remarque. Après avoir démontré que la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les parts formées suivant la loi indiquée soient égales , est que chacune d’elles soit z — (n — 1) a, on peut trouver m et x en exprimant que la somme des m parts compose la somme x à partager. En effet ; la mUmt part étant formée de m » et de la ni/m< partie de ce qui restera quand on aura diminué x de ma et de la somme des m — 1 autres parts précédentes , il en résulte que si l’on exprime que la mUm‘ part est j.xse, on sera certain que x diminué des m parts est égal à zéro;

ALGEBRE.

de sorte que la valeur de x, déduite de cette hypothèse , sera égale à la somme de ces m parts. Mais d’ailleurs , chaque part doit être égale à ( n — 1) et. On a donc

ma, — (n— i)a; d’où m — n — 1 .

Les relations z = (n — 1 )u , mz= n — 1 ,

exprimant que chaque part , formée suivant la loi indiquée, est égale à ( n — i)«, et que le nombre des parts est n — 1 , la somme x de ces n — 1 parts est n — 1 fois(n — i)«on(n — i)*<t.

§ V. Formules générales pour la résolution des Equations du premier degré.

47. Pour obtenir des formules générales , qui déterminent les valeurs des inconnues, dans tous les systèmes d’équations qui ne diffèrent que par les coefficiens des inconnues, on représente ces coefficiens par des lettres, et on rend les résultats symétriques en désignant les coelficieus d’une même inconnue par la même lettre affectée de plusieurs accens , selon le nombre des équations. On verra ( remarque de la page 104), que cette notation a aussi l’avantage de réduire le calcul de toutes les inconnues à celui d'une seule inconnue.

Deux équations du premier degré entre deux inconnues j peuvent toujours se ramener à la forme

(1) ax-\-by=c, (a) a' x + b'y = c’ ,

a, b, c, a', b' et c', désignant des quantités connues, positives ou négatives.

Nous allons résoudre ces équations par différentes méthodes, i** Méthode. On tire de l’équation (1)

c — ax

La substitution de cette valeur de y , dans l’équation (2) , donne

rfx + ^(c-ax) = c'; d’où (3)... x =