CHAPITRE II

Pour trouver y, on met la valeur (3) de x dans (i); il vient

û(â^rÈ-) + èy = c; d’°“ (4)'

ac — ca ab' — ba'

La substitution de la valeur (3) de x, dans l'équation (2),. conduirait au même résultat

2' Méthode- On tire des équations (x) et (2) ,

Ces deux valeurs de x devant être égales, on a , . c — ax c — a! x

L’équation (7) conduit à l’expression (3) de x.

La valeur (3) de x , substituée daus (5) donne la valeur (4) de^.

On parviendrait nécessairement au même résultat en subs-tituant la valeur (3) de x dans l’expression (6) de y ; car on a déduit xde l’équation (7) qui indique que les valeurs (5), (6) de y sont égales entre elles.

3* Méthode. Lorsque les coefficiens b , b', dey, sont égaux, on peut éliminer^, en retranchant les équations (1) , (2) , l’une de l’autre -, l’équation (a' — a) x = c' — c, qui en résulte , détermine x.

Quand les coefficiens de^ ne sont pas égaux , on ramène ce cas au précédent , en multipliant les deux membres de l’équation (1) par b’, et ceux de l’équation (2) par b ; ce qui donne

ab'x + bb'yz= cb' , bd x -(- bb'y = bc .

Retranchant la 2e équation de la ir<, on sera conduit à la formule (3).

Pour obtenir la formule (4), on multiplie les deux membres de l’équation (1) par d , ceux de l’équation (2) par a , et on retranche ensuite les nouvelles équations l’une de l’autre.

4* Méthode. On multiplie l’ équation (1). . . ax + by—c , par une indéterminée m; on retranche du résultat l’équation,

too

ALGEBRE.

(2) . . . a! x -f- b' y — c, ce qui donne (am — a)x -f- (bm — b')y = cm — c.

Les valeurs de x et y se déduisent de cette dernière équation , en disposant de l’indéterminée m de manière que le coefficient de l’inconnue qu’on veut éliminer se réduise à zéro.

Ainsi, pour trouver x, on fait disparaître y en posant

bm — b'— o-, d’où m — -j- et ( am — a')xz=cm — c.

Remplaçant m par —, cette dernière équation conduit à

cb’ — bc'

(3)... x -abr ba'-

Pour trouver y, on ferait

am — n' = o; d’où m=— et (bm — b')y—cm — c.

Substituant dans cette dernière équation la valeur — de m.

on parvient à

. ac — ca

(4)'“ y ~ ab'-ba '•

Il est facile de s’assurer que les valeurs (3), (4), de x et y, satisfont aux équations (1), (2).

Par exemple, la substitution de ces valeurs dans l’équation ax -f- b y = c, doune l’identité

' cb ' — bc\ . fac — ca'\ c(ab' — ba)

jib' — ba' ) \c6' — ba') ab' — ba'

Trois équations du premier degré à trois inconnues j peuvent toujours se ramener à la forme

(1). by-\- cz = d, (2). . . a x -f- b'y -hc * — d' ,

On détermine les valeurs des inconnues x,y,z , par des méthodes analogues aux précédentes.