CHAPITRE II. ioi

tra Méthode. L’équation (i) résolue par rapport à z donne

d — ax — by z —

La substitution de cette valeur de z, dans les équations (3), (3), conduit à

(a'c — ac)x -f- (b'c — bc)y = (ccf c d) ,

(1 a’c — ac")x (b’c — bc')y = (cd’ — c’d).

Cesdeux équations entre x et y, résolues par l’une des quatre méthodes précédentes, donnent

db'c’—dc'b’+cd(b'—bd(c"+bc'd’—cb'd’ ab'c"—ac'b“-\-ca'b“—ba!c“ -f bc'a"— TbW

/tA ad'c’—acd’+ca'd’—da'c’+dc'a’—cd'a"

■ (»)• • -y — ab'c" — ac' b“ -\-cd b" — ba! c" -\-bcr a’-r-cb' a°’

La substitution de ces valeurs de x et y , dans la valeur

— — de z, ou dans l’une quelconque des équations

proposées, conduit à

ab'd“— adb’+da'b’— ba'dT+bd’a’— db'a’

ab'c’—ac'b’+ca'b’—ba'c" +bca“ —cV?

Remarque. Les équations ax -f- by = c, a'x b' y — c',

, , cb' — bc ac — ca!

ayant donné x = ^—-^f, y =

on voit que pour déduire de ces formules les valeurs de x et y, qui conviennent aux équations

( a'c — ac’)x -f- (Jb'c — bc)y — cct — c d ,

( a’c — ac’)x -f- (b’c — bc")y — cd? — c“d, il suffit de remplacer

par a' c—ac', b'c — bc, cct — c d, a’c — ac“, b’c — bc’, cd“ — c’d ; ce qui conduit à ,

C i 02 ALGÈBRE.

(cd!—dd) (b"c — bc") — (b'c — bd) (cd."—c"d) ,

( a'c — ac ) (b'c — bc")— ( b'c — bc') (a" c — ac ")

(a c — ac') (cd" — ■ c" d) — (cd! — c d) ( a"c — ac")

^ (a'c — ac') (b"c — bc") — {b'c — bc') (a"c — ac")’

Effectuant les multiplications indiquées , et réduisant les termes semblables , on obtiendra les formules (4) et (5).

2e Méthode. On résout les équations proposées par rapport à z, ce qui donne

r s d — ax — by d — cl x — b' y d"—a."x — b" y

On égale successivement la ir* valeur de z aux deux autres; cela fournit deux équations entre x et y, qui conduisent aux formules (4), (5). La substitution des valeurs (4) , (5) de x, y, dans l’une quelconque des expressions (7) de z, conduit à la valeur (6) de s.

3* Méthode. Pour éliminer z entre les équations (1) . . . ax + by + cz = d, (2) . . . a'x + b'y + c'z = d',

on multiplie tous les termes de la ir* par c et ceux de la 2e par c; ce qui donne

ac x + bc'y -j- cc' z — dd a'cx + b'cy + cc’z = cd! .

Retranchant ces deux dernières équations l’une de l’autre, il vient

(8) . . . (a'c — ac')x -f- (b'c — bd) y = cd! — c’d.

L’équation (3) . . . a" x + b'y -f- d'z = d“ , se déduisant de l’équation (2) en changeant a', b', c', d', en a", b", c", d ", on obtiendra l’équation résultante de l’élimination de z entre (1) et (3) , en effectuant ce changement dans (8); ce qui donnera

(9) . . . (a"c — ac")x + (b"c — bc")y = cd" — c" d.

La résolution des équations (8) , (9) , conduira aux valeurs (4) , (5) de x ,y ; et ces valeurs mises dans l’une quelconque des équations proposées, fourniront une équation en z qui déterminera cette inconnue.