CHAPITRE II. »t

4e Méthode. On multiplie les équations (i), (2) , par îles indéterminées m, n, ce qui donne

amx -f- bmy + cmz =x dm, a'nx + b'ny +c'nz = d'n.

On ajoute ces deux équations , et on en retranche l’équation nx 4 b" y + c"z~ d"\ il en résulte

(am+a'n — a") 1+ ( bm+b'n—b’)r + ( cm+c'n — c")i= dm + d'n— J".

Les valeurs de x , y, z , se déduisent successivement de cette dernière équation en disposant des deux indéterminées m, n, de manière que les coefficiens des deux inconnues qu’on veut éliminer se réduisent à zéro.

Ainsi, pour trouver x, on pose

bm 4 b'n = b", cm 4 c'n = c" •

Ces deux équations fourniront les valeurs de m et n, qui réduisent les coefficiens de y et z a zéro , et la substitution de ces valeurs de m et n dans la relation

(jum 4 a n — oQx = dm 4 d'n — d’ ,

conduira à la valeur (4) de x (page 101 ). Remarque. Les équations

ax 4 by =r c , a x 4 b' y :

cb' — bc' ac' ayant donné x = a(),bj. y —

ca'

bd"

on voit que pour déduire de ces formules les valeurs de m et n, qui satisfont aux équations

bm 4 b' n — b" ,

cm 4 dn = c',

il suffit d’y changer

a , k 7 c , ci y

en b , b , b , cf

ce qui conduit à

bc"— Ific

= bc'-V7' bc' — b'c

Substituant ces valeurs de m et n dans la relation

io4 ' ALGÈBRE.

(am + a'n — a")x = dm -f- d'n — d ",

on parviendra à la valeur (4) de x. (Page 101.)

Des calculs analogues conduiront aux valeurs (5), (6) , de y et de a.

5e Méthode. Les équations

(»)... ax -f- by-\- cz = d, (2)... ax -\-b'y-\~c'z = d ,

donnent ax -\-by~d— cz, ax + b' y = d' — c'a.

On pose d — cz — y, d' — c'a = y' ; d’où

ax -f- by — y , a'x + b' y — y'.

Les valeurs de x et y, qui satisfont à ces deux dernières équations, se déduisent des formules (3), (4), (pages 98, 99), en y changeant c et c en y et y'-, ce qui conduit à

y b' — by ay — ya

ab' — bd' y ~ ab' — ba '*

On substitue ces valeurs de x et y dans l’équation (3)... a‘,x + bny + c‘,zz=d"-,

on chasse le dénominateur ab' — ba', et on remplace ensuite les lettres y, y, par leurs valeurs d — ca, d — c'a; on obtient ainsi une équation en a, qui conduit à la valeur (6) de a. (Page toi.)

Connaissant a, on en déduit les valeurs d — ca, d' — c'a, de y et y , et ensuite les formules (10) déterminent x et y.

Des calculs analogues aux précédens, conduiront aux expressions générales des inconnues dans quatre équations entre quatre inconnues; et ainsi de suite.

Remarque. La notation symétrique que nous avons adoptée , offre cet avantage , que lorsqu’on est parvenu à l’expression générale de l’une des inconnues j on peut toujours en déduire immédiatement les valeurs des autres inconnues-

Par exemple, pour déduire la valeur (5) de y, de la valeur (4) de x (page 101), on observe que les équations proposées

(tx+by-\-cz—d , a'x-j-b'y -f- c'a = d' , a'x + b" y ■\-c"zz=zd“ ,