CHAPITRE II

-f- » la 2* du signe — , et de mettre un accent à la 2* lettre de chaque permutation ; les numérateurs cb' — bc', ac — ca des valeurs de x et y, se déduisent du dénominateur ab' — bd , en remplaçant le coefficient de l’inconnue qu’on veut trouver par le terme tout connu.

Ainsi, le numérateur cb' — bc de x se déduit du dénominateur ab' — bd, en changeant les coeffîciens a, a' de x,en c et c' .

20. La comparaison des formules (4), (5), (6), (page 101) , avec les équations

ax -\-by cz — d , a'x -f -b'y -J- c z~d’, a"x+ b"jr-\-c"z — d",

fait voir que le dénominateur commun des valeurs de x , y, z, est composé des coefficiens des inconnues. Pour obtenir ce dénominateur, on prend les permutations +ab, — ba, dans chacune desquelles on introduit successivement la lettre c, à la 3® place, à la 2' et à la ir®, en ayant soin de donner à chaque première permutation de trois lettres, le signe de la permutation de deux lettres qui l’a fournie , et de changer alternativement les signes des autres permutations; on réunit ces permutations du produit abc, on met un accent à la 2® lettre de chaque permutation et deux accens à la 3® lettre; le résultat

ab'c"— ac'b"+ ca b" — bdc"+ bc’d— cb'a",

est le dénominateur commun demandé.

Les numérateurs des valeurs de x , y , z se déduisent de ce dénominateur, en remplaçant le coefficient de l’inconnue qu’on veut trouver, par le terme tout connu et en conservant les accens.

Par exemple, pour former le numérateur de la valeur de x, ori remplacera dans le dénominateur les coefficiens a, a , a" , de x , par les termes tout connus d, d', d"-, ce qui donnera le numérateur demandé

db'c" — dc'bu + cd'b" — bd'c" -f bc'd" — cb'd".

Remarque. Pour que cette manière de former les expressions générales des valeurs des inconnues convienne à n équations entre n inconnues, il est indispensable de former les permu-

tâtions des coefliciens des n inconnues, dans l’ordre que nous avons indiqué.

On trouve, de cette manière, que dans quatre équations de la forme ax -4* by -f- cz -f- dt = e , le dénominateur commun des valeurs des inconnues x, y , s, t, est la somme des 24 termes,

+ ab'c-dm, — aVâfc9, -f- adb"c", — da'b‘cm, — ac'b"<r, -t- acd"bm,

— ad'c"/,", + da'c“b", -+■ ca'b“d", — cad'bm, + edfa"bm, — dda’b" ,

— ba'c“cT, + ba'dacm, — bd’d'c ", + db'a"cm, •+■ bc'acT, — bc'd“am,

■+■ bd c'a", — db'c'a", — cb'a”dm, + cb‘dmam, — cdb’aT, -f- de' b" a”.

Pour en déduire le numérateur de x, il suffit de changer les a en e, et de conserver les accens. On obtiendra le numérateur de y , en changeant les b en e -, et ainsi de suite.

5o. Lorsqu’on a n équations littérales entre n + m inconnues j il existe une infinité de manières de satisfaire à ces équations ; car en assignant des valeurs arbitraires à m inconnues, il reste n équations qui servent à déterminer les n autres inconnues.

On peut aussi déduire de ces équations j les valeurs de n inconnues j en fonction des m autres inconnues. i°. Soit le système

ax -f- by -f- cz — d , dx -f- b'y -j- c'z = d.

Pour déterminer x et y en fonction de s, on peut faire d — cz — C, d — c'z — C ; les équations données deviennent

ax-\-by=xC, a'x -f - b'y = C •, d’où

Cb' — bC aC' — Ca!

X ah' — ba’ ’ y ' ab' — bd'

Remplaçant C et C par d — cz et d' — c'z , ou a

(d — ci) b' — b {d — c'z) a (d' — c'z ) — ( d — cz) a'

X=Z ab'— bd ’ y~ Tb^bd 1

ce qui revient è