CHAPITRE II

(J VI. Examen des circonstances particulières que présente la résolution des équations du premier degré.

5a. Nous avons supposé dans les n°‘ Ig] et 48 , que toutes les équations proposées étaient distinctes, c’est-à-dire qu’elles ne pouvaient passe déduire les unes des autres, et que d’ailleurs elles n’exprimaient pas des conditions contradictoires ; mais comme il n’en est pas toujours ainsi , nous allons discuter successivement les différens cas qui peuvent se présenter.

On dit que des équations sont possibles , quand il existe des valeurs finies des inconnues qui rendent toutes ces équations identiques. Selon que des équations admettent un nombre fini ou infini de solutions, ces équations sont déterminées ou indéterminées. Enfin , nous dirons que des équations sont impossibles, ou incompatibles j ou contradictoires , quand elles ne pourront être satisfaites par aucunes valeurs finies des inconnues.

Nous allons d’abord traiter les équations numériques ; nous verrons ensuite comment on peut interpréter les formes particulières que prennent les expressions générales des inconnues dans les équations littérales.

53. Lorsqu’en combinant des équations numériques pour en déduire les valeurs des inconnues , on parvient à une équation qui ne renferme plus d’inconnue, cette équation peut toujours se ramener à l’une des formes o = o, «=o ($t désignant un nombre); dans le 1er cas, les équations proposées sont indéterminées et dans le 2' cas elles sont impossibles. En voici des exemples :

i°. L’équation 3(4x4 12) = 4(3x-f 9).

admet une infinité de solutions; car elle se réduit à l’identité o = o, qui est vraie quel que soit x.

2°. L’équation 3(4x4 12) = 4(3x4 2)

ne peut être satisfaite par aucune valeur fipie de x ; car elle conduit à l’absurdité 36 = 8 , qui revient à 28 = o.

3°. Les équations 6x-f-3y=3, 4X -f- ay — 2 >

sont indéterminées j car l’élimination de x conduit à o = o.

La multiplication des deux membres de la ire équation

par - donnant la 2e équation, celle-ci n’est qu’une conséquence

immédiate de la ir*; de sorte qu’on peut effectivement assigner des valeurs arbitraires h x ou à y\ l’une quelconque des équations proposées fournit les valeurs correspondantes de l’autre inconnue.

4°. Les équations x -f- 2y = 5, 3 r -f- 6y = 2 ,

sont contradictoires ; car l’élimination de x conduit à l’absurdité i3 = o.

La multiplication des deux membres de la ir* équation par 3, rend cette absurdité évidente; car le résultat 3x 6y = i5

ne peut s’accorder avec la 2' équation, 3x -f- 6y — 2.

Chacune des équations proposées admet une infinité de solutions , mais aucune des solutions de x -f- 2y = 5 ne convient à 3x -)- 6y = 2.

5°. Soient x-f-y -f-s=3, o.x+2y -\-oz = t , x — y — z—\.

Aucunes valeurs finies de x,y,o ne peuvent satisfaire au système de ces trois équations; car l’élimination de z entre les deux premières, conduit à 5= o.

Et en effet, la multiplication des deux membres delà ir* équation par 2, donne 2X -1- iy -f- iz = 6 ; ce qui ne peut s’accorder avec la 2e équation , 2x -f- 2.y -f- 2z = 1 .

Occupons-nous des équations littérales.

54. Toute équation du premier degré à une seule inconnue peut se ramener •à, la forme (1), . , . ax — b. Suivant que cette équation est indéterminée ou impossible , F expression générale

- de X , prend la forme indéterminée -, ou la valeur infinie - ; a 00

la réciproque est vraie. En effet :

i°. Quand l’équation (1) est indéterminée, il existe une infinité de valeurs arbitraires de .r qui y satisfont; si * el j3 sont