ΠCL

est donc une expression infinie de la forme -.

Réciproquement, lorsque la valeur - de x est infinie, le

coefficient o de x est nul , et b n’est pas zéro. L’équation (i) est impossible ; car elle se réduit, à o X x = b , et aucune valeur finie de x ne peut rendre le produit o X x égal à la quantité finie b.

Remarque. Lorsque a étant nul, b n’est pas zéro, la valeur infinie que l’on obtient pour x , exprime qu’il n’existe aucun nombre qui, mis à la place de x, puisse rendre ax égal à bt mais que F erreur sera d’autant moindre que x sera plus grand.

En effet, l’équation (i). . . ax = b , revient à - = a; il s’agit

o. Tant que x est fini,

donc de satisfaire à la condition -

- nest pas nul, l’erreur est mais celte erreur devient x x

Ti 4 ALGÈBRE.

d’autant moindre que x est plus grand; de sorte qu’on peut toujours assigner à x une valeur assez grande pour que l’erreur soit aussi petite qu’on voudra : c’est dans ce sens que la valeur x = oo satisfait à l’équation (i). L’équation (i) résulte d’une équation de la forme <*x -f- £= *x-j-y, et l’hypothèse x = oo rend les deux membres égaux à l’infini.

Nous n admettrons désormais que les valeurs finies des inconnues. Ainsi, quand nous dirons qu’une équation est impossible , nous entendrons qu’elle ne peut être satisfaite pour aucunes valeurs finies des inconnues. Nous verrons , dans l’application de f Algèbre à la Géométriej que les valeurs infinies des inconnues fournissent quelquefois des solutions du problème proposé.

La résolution de n équations du premier degré entre n inconnues , conduisant généralement à une équation qui ne contient plus qu’une seule inconnue, les propriétés précédentes doivent convenir à ces équations. 1

55. Lorsquedeux équations du premier degré à deux inconnues , (i). . . ax + by = c, (a). . . a'x -f- b'y = c', sont déterminées ou contradictoires , les formules générales

cb'— bc' ab' — ba"

ac — ca

ZFF—bd’

qui expriment x et y, dorment pour ces inconnues des valeur $ indéterminées ou infinies; la réciproque est vraie. En effet : i°. Quand les équations (i), (a), sont indéterminées, x et y ont une infinité de valeurs ; or , x dépend de l’équation

(5) . . . {ab' — ba') x == cb' — bd.

Par conséquent , d’après ce qui a été démontré ( n° 54, i°), ab' — ba' et cb' — bc sont nuis; on en déduit

Lt f r

-r = — = — ; d ou ac — ca = o.

bac

Les valeurs (3), (4) de x et y» se réduisent donc à Rkcipboqckment. Lorsque l’une des valeurs (3), (4), de x ouy”.