CHAPITRE II

se réduit à -, les équations (i), (2) sont indéterminées. En

effet, on a

ab' — ba! — o et cb' — bc' = o , ou ab' — ba 1' — o et ac' — ca = o.

On en tire

Ces dernières relations ayant lieu , l’équation (2) résulte de la multiplication des deux membres de l’équation (1) par un même nombre; car, en désignant par q le quotient de a' par a, les relations

— = -ÿ = — = q , donnent a =aq, b =bq, c =cq,

et l’équation (2) devient

aqx + bqy = cq , ou (ai + by) Xq = cX q.

L’équation (2) n’étant qu’une conséquence immédiate de l’équation (i), les valeurs de x et y ne sont assujetties qu’à la relation (1) ; on peut donc assigner une infinité de valeurs arbitraires à l’une des inconnues x,y-, l’équation (1) détermine les valeurs correspondantes de l’autre inconnue.

Exemple. Soient 6x -j- 3y = 3 , 4 x -f- 2.y = 2.

Ona, a = 6, b= 3, c = 3, a'=4> b’=i , c'=i.

Les formules (3) , (4), conduisent à x=-, y = -,

Ces valeurs indéterminées de x et y indiquent que les équations proposées admettent une infinité de solutions.

Quand le système des équations ( 1 ) , (2) , admet deux solutions, il existe une infinité d’autres solutions communes à ces équations; car les valeurs de x dépendent de l’équation

(5) . . . (ab’ — ba!)x = cb' — bd j

et cette dernière devant admettre deui valeurs de x, on a vu (n°54, i°), qu’il faut que

ab — l>a' = o, cb — bc' = o, d’où ac' — ca' ^o.

il 6 ALGÈBRE.

Ces trois dernières relations ayant lieu, on vient de prouver (i°J que l’équation (2) n’est qu’une conséquence immédiate de l’équation (1). De sorte qu’on n’a réellement qu’une seule équation entre x et y. Ces inconnues ont donc une infinité de valeurs.

20. Quand les équations (i)...ax-f-by=c, (2 )...a'x-\-b'y=c' ,

sont contradictoires j aucunes valeurs finies de x et y ne peuvent y satisfaire en même temps. Or, ces équations donnent

(6). . . (ab' — ba') x — cb' — bc , ( ab ' — ba') y =ac' — ca' .

Par conséquent, d’après ce qui a été démontré (n° 54, 20), on doit avoir ab' — bd = o, et aucune des quantités cb' — bc ac — ca', n’est zéro.

Les formules (3), (4), (page 1 1 4), déterminent donc des valeurs infinies de x et y.

Réciproquement. Lorsque les valeurs (3), (4), de x et y, sont infinies, les équations (1), (2) sont incompatibles. En effet, aucun des numérateurs cb' — bc , ac' — ca' , n’étant zéro, et le

dénominateur commun ab' — ba' étant nul, V équation

(2) . . . a x + b'y = c' résulte de la multiplication des deux membres de V équation ( 1 ). . . ax + b y = c , par deux quantités

bût

différentes ; car la relation ab' — bd — o, donne b’ — — .

La substitution de cette valeur de b' , dans l’équation (2)> conduit à (ax -+■ by) a = ac .

Or, par hypothèse , ac' n’est pas égal à ca' ; on a donc

ac' = cX(o+^). L’équation (2) revient donc à

(ax -f- b y) X a = c X (d + <f) ;

ce qui démontre la propriété énoncée.

Dans ce cas, aucune des solutions finies Je l’équation (1) ne convient à l’équation (2).

Pour apercevoir comment les valeurs infinies de x et y satisfont aux équations (1), (2), on observe que ces équations conduisent aux relations (6), et ces dernières reviennent à