CHAPITRE II

ab' — ba! ,

ac — ca

— ab' — ba' .

Or, ab' — ba! = o, et aucun des numérateurs cb' — bc' . .• ac' — en', n’est égal à zéro; des valeurs finies de x et y ne peue vent donc pas satisfaire aux équations (7), mais les erreurs sont d’autant moindres que x et y sont plus grands; de sorte qu’on peut toujours prendre x et y assez grands, pour que les erreurs soient aussi petites qu’on voudra.

Exemple. Soient x -)- iy = 5 , 3 x + 6y = 2 .

On a a=i, 5=2, c= 5, a' =3, 6' = 6, c'=2.

Les formules (3) , (4) , (page 1 «4) > donnent

Ces valeurs infinies de x et y indiquent qu’il n’existe .aucuns nombres qui, substitués pour x et y, puissent satisfaire à la fois aux deux équations proposées, mais que les erreurs deviennent d’autant moindres que x et y approchent plus de + 00 et de — 00.

Enfin, les valeurs x = + 00, y = — 00, satisfont aux équations données, car ces équations deviennent

00 — oo=5, 00 — 00=2,

ce qui revient à 00=00+ 5, 00=00+2,

et il résulte delà définition de l’infini, que l’infini augmenté d’un nombre quelconque reste égal à l’infini.

56. Nous allons discuter les formules générales qui déterminent les valeurs des inconnues, dans le système de trois équations du premier degré entre trois inconnues. Nous serons conduits à cette remarque importante, que les équations peuvent être incompatibles , quoique les expressions des inconnues

se présentent eous la forme indéterminée -,

Soient les trois équations

(1). . . ax+by+cz—d, (1). . . a'x+b'y+c'z=<V, (3). . . a"x+b"r+c’z=d" .

n8 ALGÈBRE.

Les formules du n° 47 ( page 101 ), déterminent leS valeurs

dex, y, z, qui satisfont à ces équations. Soit pour abréger

ab'c" — ac'b" + ca'b" — bd c" + bc'd — cb'a"=ï,

db'c" — de' b" + ccüb" — bd! c" + bc’d" — cb'd" = X,

ad'c "— ac’d"+ edd " — dde" -f- de' a" — cd'a" = Y , ®

ab’d"— ad' b" + ddb" — bdæ -f- bd! a" — db'd—Z ;

onaura = y=j, t = y

Discutons ces formules.

1°. Lorsque J1 n’est pas nul , chaque inconnue a une valeur finie et déterminée; les équations proposées n’admettent que la seule solution fournie par les formules (4).

2°. Lorsque ^ étant nul, aucun des numérateurs X , Y, Z, n’est zéro , les valeurs (4) de x,y, z sont infinies; et les équations proposées sont contradictoires, car d’après (4) elles conduisent à X = <Lc, Y = i'y , Z =£z, et des valeurs finies de x, y, z, ne sauraient satisfaire à ces trois dernières équations.

3°. Quand <f,X, Y et Z se réduisent à zéro , les expressions générales (4) de x, y,z, prenant la forme indéterminée ^ , il

parait naturel de penser que les équations proposées admettent une infinité de solutions; cela arrive assez ordinairement; mais quelquefois ces équations sont contradictoires. En effet, soient a V d __d b c d '

Ces relations réduisent S', X, Y, et Z à zéro, quelles que soient a", b", c" et d"; car elles donnent

ab'—bd , ac'—cd , bc'=cb’ , cd'—dc', db'=bct , ad'—da\ et on peut mettre les valeurs de X, Y , Z , sous la forme

<1 = (bc' — cb') a (cd — ac ') b“- f- ( ab ' — bd) c",

X = (cd'—dc') b" 4 (dé'— bd!) c" + (bc'—cb') d",

Y = ( dc'—cd ') a"+(ad!— dd) c"+ ( cd—ac ') d" , z = (bd'—db’) d'+(dd- ad!) b" + (ai'— bd) d" .