CHAPITRE II
Les valeurs (4) de x, y, z, se réduisent donc à — .
Pour interpréter ce résultat , on observe que les relations
— = -j, donnant c d
, ad „ bd , cd
l’équation (2) . . . a'x + b' y -\-cz—d, revient à
ad bd cd „ , d
-£-x-\ — j-^4- -j- z=d , oua(ax-f-iy+cz)Xj = </X
L’équation (2) n’est donc qu’une conséquence immédiate de l’équation (1) ... a x -f- by -f- cz = d. Il suffit donc que les trois inconnues x, y, z satisfassent aux deux équations-
(1)... ax-\-by + cz — d, (3).. a" x -f- b"y ■+■ c"z = d" ;
et par conséquent , on pourra donner des valeurs arbitraires à l’une quelconque des inconnues x, y , z ; les équations (1), (3) fourniront les valeurs correspondantes des deux autres inconnues. De sorte que les équations (1) , (2), (3) admettront une infinité de solutions.
Si outre les relations
: -J, on a — :
cl a
il en résultera
ac
bc"
l’équation (3)... a’x + b" y -j- c" z — d" , deviendra
ac" bc" „ , , cd"
— X -p- — y 4- c a = d : d’ou ax + by - f- cz— —y .
Pour que cette dernière équation puisse subsister en même temps que l’équation (1), il faut et il suffit que
cd" d" c"
-r=d-, d’ou -3- = -; c de
on a d ailleurs — = 5- = — = y .
i2o ALGÈBRE.
L’équation (3) devient une conséquence immédiate de l’équation (i), les inconnues x,y , z ne sont assujetties qu'à la condition (i) ; de sorte qu’on peut assigner des valeurs arbitraires à deux quelconques de ces inconnues; l’équation (i) fournit les valeurs correspondantes de l’autre inconnue.
Enfin, si les relations
ayant toujours lieu , —y n’est pas égal à d , l’équation (3) qui devient
ax + by + cz = -g- , sera incompatible avec
(i)... ax -f- by -f- cz = d.
Dans ce cas, les expressions générales (4) de x, y , i, se
présentent sous la forme indéterminée -, et cependant il nJ existe
aucunes valeurs finies des inconnues qui puissent satisfaire au système des équations (i) , (2) , (3) proposées (*).
5r}. Lorsque les termes tout connus d, <£ , d", sont égaux à zéro, les Taleurs de X, Y, Z, se réduisent à zéro. On satisfait aux équations
(1)... ax + by -f- cz = o , (*)••• a'x -j- b' y -f- c « = o ,
en faisant x= o , y = o , z =0.
Mais, il arrive quelquefois que les équations proposées admettent d’autres solutions. Pour s’en convaincre , on tire les
(*) Il n’en est pas rie môme de deax équations entre deux inconnues; car toutes les fois que les expressions générales de» inconnues se présentent sous la
forme - , il existe une infinité de valeurs finies des deux inconnues qui sao
tisfont atut cqualions proposées (n« 55, 1»).
CSÀitfFRE II. ïar
valeurs àe x , y , des deux premières^ épations , comme si a était connu*, ce qui 'donne . - v / . ‘ '
/c\ fic' — cb'\ ,c\ / ca,.—dc\ „ ‘ ■
Cés valeurs de x1 , y, satisfont aux équations (t) r (2), quel que soit a. Eu les substituant dans l’éqûatioir (3) , on parvient à la relation* . (7)/ . .ifc'sc o. . 1 . .
Les solutions des équatiohs (i), (2), (3), sont les mêmes que, celles des équations (5), (6), (7). . .
-Ier Cas. Quand le dinoqiinaUur commun i'n1 est pas jiid, on ne ' peut satisfaire- aux équations <l)r <i), (3) , quèn, posant x—o, y — o, z =so. * . : -
En effets la relation (7) exige que ze=a; les équations (1), (2), (3), se réduisent à ■ • ■ , •
(8)i.. Qrr+-èy=o, (9).^ a’x-\-Vy—o, (10)... auoi-{~b"y=o.
Pour trouver la valeur d<f J correspondante à 4= o , on élimine successivement a: entre (8) , . (9) , et (8)., (io)., ce qui conduit -à * ' ' • ‘ .
:» - - (at/ ba')y — o , ( a"b — o.
La seule maniéré de satisfaire à ces deiix dernières Quations est de poser . ^ = 0 • oar si y. n’était pas nul , il .faudrait qu’011
eût ‘ . ' ' ; "• , . # ' ' * , • •
ab' — ba' =; o , a1 b — r- b" a = o ) • d’où
h hf hn • ' ‘ • , .
* - - = — «= -j .et a b" — b' a" = o.
’ Or, é' n’étànt pas nul fies trois relations ' •
ab’ — ba' == p , ctb— b"a= o , a' b" — b' à’ ==o, ’ • ne sauraient avoir lieu en même -temps, puisque la valeur *= ab' c" — 'ac b" + ca'b" — bdc’ ■+ bd a" cVa"\
peut se mettre sous la forme ' • ' .
i'—iab' — ba!) c” + (anb — Vajc -f ,(db" — Va*} c.
. • * » * tt ' *
(*) On pent (induire ces wilcurs, «tes formules (3V, (4), (page ii4), en remplaçant c et d, par — « et — c'a.
laa - ALGEBRE;
Il £uit.donc que y ?çs Pj et jmr suite les équations (8X, (9), (10), s’accordent à donner x=ô. __ .
On voit donc quç x, y et Z jîont nécessairement nuis.
2* Cas. Quand le dénominateur commun $ se réduit à zéro , des valeurs arbitraires 3e t satisfont à la relation Ji = 0| et comme les valeurs (S) , (61 , dé x, y, Satisfont au$ équations (1) , (a) y (3), quel que soit z,, on obtièrit toutes les solutions des équations proposées,- en donnant des valeurs arbitraires à z; les formules (5) (6), déterminent les valeurs correspondantes des inconnues x > y ; de sorte que les équations proposées admettent itne infinité de solutions,' ,
Remarque. Lorsque £ étant pul ,. aucun des binômes ab' — bd,
bc' — cb'j ac" — çd , d’est égal a sérOj les rapports - , - — 3
sont finis et pùtértninés 3 quoique les équations proposées admettent une infinité de valeurs de x , y 3 z ; car les relation^ (5) et (6) • donnent t
x te — çb' y cd — ac . ;ç bc -
• z ab’ — bd ’ z^ab’ — ba '* ’y~~
cd
ca — ac . .
Ces- exemples suffisent pour mettre en état de discuter lous les cas qui peuvent' se préséntér. ,r .. ..
En général , quel que spit le norttbre dee équations it des inconnues j certaines inconnues peuvent êlte finies , d’autres infinies e't d’autres indéterminées. .. . t
Remarque. Quand les équations proposées sont numériques, on évite toutes lès difficultés relatives à Pintejrprétation des formules générales qui déterminent les valéurs des inconnues , en opérant directement sur les' équations proposées comme il a été
indiqué dans, le n° Çd. • ' .
§ VIL ■ Composer dèsfiquqtionp qui, admettent des solutions ' ’ . données.
58. Lorsqu’une équation entre plusieurs- inconnues renferme des coèffîciens arbitraires , on' peut déterminer ces eoelBciens de manière que l’équation, admette des solutions données car chaque solution, substituée dans l’équation proposée, fournit
