CHAPITRE II

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une équation du premier degré entre les coefficiens inconnus.

i,r Exemple. Soit une équation du premier degré entre deux inconnues x, y.

Pour simplifier les calculs, on supposera que cette équation a été ramenée à la forme

(i)... y = ax + b\

ce qui est toujours possible en divisant tous les termes par le coefficient de y.

Il s’agit de déterminer a et b de manière que l’équation (i) admette des solutions données. On ne pourra donc pas se donner plus de deux solutions arbitraires.

Cela posé : si x=ct, y=£, et x=«, y—C,

sont les deux solutions données, chacune d’elles devant satisfaire à l’équation

(i)...^=ax+è, on aura (.2)... G=a*-{-b , (3)... C=za*'+b. Les relations (2), (3), conduisent à

Substituant ces valeurs des inconnues a, b , dans (1), l’équation

que l’on obtient , admet nécessairement les deux solutions données.

Le calcul précédent se réduisant à éliminer a et b entre (1), (2) , (3), on parvient plus simplement à l’équation qui admet les deux solutions données, en retranchant d’abord (2) de (1), afin de faire disparaître b ; le résultat

admet la solution x = a, y = S, quel que soit a.

Pour déterminer a de manière que l’équation (5) admette l’autre solution donnée x = * , y—.C, on retranche (2) de

ALGEBRE.

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(3). cc qui conduit à

G' — G — a(u — a); d’où a= — .

La substitution de cette valeur de a dans (5) fournit l’équation demandée

Il est facile de s’assurer que les équations (4) , (6), ne difiêrrent que par la forme; car chacune d’elles se réduit à

On peut aussi parvenir à l’équation (6) en exprimant d’abord que l’équation (i) admet la solution xz=u,y = G. En effet, ces valeurs de x et y devant satisfaire à l’équation

(î) . . . y = ax -f- b , il faut que (2) ... G — au. -|- b.

Pour introduire la condition (2) dans (1), on remplace b par sa valeur G — au tirée de (2) ; ce qui donne

y — ax + G — au, ou (5) ... y — G = a(x — a).

Le système x = u, y=G, satisfait à l’équation (5), quel que soit a.

Le calcul qui a conduit à l’équation (5), se réduisant à éliminer b entre (1) et (2), on parvient plus simplement à la relation (5) en retranchant (2) de (1).

La seconde solution donnée x=u, y—£, devant convenir à l’équation (5) , il faut que cette équation soit satisfaite quand on y remplace x et y par u et C; ce qui donne

G'-G = a(u’- a): d’où a = -

et — tt

Substituant cette valeur de a dans (5) , on exprime que l’équation (5) admet la 2* solution x —u , y = G'; et comme l’équation (5) admettait déjà la iM solution x=m, y=G , quel que soit a , l’équation