CHAPITRE II. ia

qui résulte de cette substitution, admet nécessairement les deux solutions données.

Il est d’ailleurs facile de le vérifier; car en faisant æ = «, l’équation (6) donne jr=C, et en supposant x = m , la même

équation conduit à

O — 0 (*—*)—{€' — £) («'—«), d’où y — C=C — b, et y—Q,'.

On est conduit plus longuement au même résultat quand on ne prépare pas l'équation proposée de manière que le coefficient de l’un de scs termes soit l’unité; car l’équation du i*r degré entre deux inconnues étant alors de la forme ax-\-by = c, les équations qui expriment qu’elle admet les deux solutions

x = *,y=e || x = d,y=zÇ', sont aa.-f-b€=c, a«-t-bC = c.

Ces deux dernières équations résolues par rapport aux inconnues a, A, donnent

Substituant ces valeurs de a et b dans ax+by = c, on parvient à une équation qui admet les deux solutions données; et en divisant tous ses termes par leur facteur commun c, l’équation

*£'— aC — W ~ ’

que l’on obtient ne renfermant plus de coefficient arbitraire, on ne saurait se donner une troisième solution.

Il est facile de voir que celte dernière équation conduit à l’équation (4), {page 123).

Nous supposerons donc désormais que V équation proposée a été préparée de manière que le coefficient de l’un de ses termes soit l’unité; et, dans ce cas, on ne pourra généralement se donner qu’autant de solutions .au plus , quil restera de coefficiens arbitraires (Lins l’équation ainsi préparée, car chaque solution donnée fournit une équation entre les coefficiens inconnus.

2' Exemple. Soit l’équation (i)... * = ax -f- b y •+■ c.

Cette équation (i) renfermant trois quantités arbitraires, on peut disposer de ces quantités de manière qu’elle admette trois solutions données

x = *,y = C,z = y\\x=* ,y = C , z=y\\x—»",y=xC",z—y.

Chacune de ces solutions devant convenir à l’équation (i) , il faut que

(2)... y=a»-t~ bG + c, y =a* -\-lG -j-c, y"=aa"-{~ bC"-j- c.

L’élimination de a , b, c, entre (1) et (2) fournirai’ équation en x, y , z, qui admet les trois solutions données.

On peut effectuer cette élimination par l’une quelconque des méthodes indiquées dans le 1er exemple.

Si les trois solutions données sont

*==«,j'=a)3:=0lk=0»y=2>*=ill*=— «» «=»,

on trouvera que l’équation qui admet ces trois solutions est

5g. Problème. On propose de composer un système d’équations qui admette des solutions données.

ier Exemple. Soient deux équations générales du premier degré entre deux inconnues x, jr.

On ramène d’abord ces équations à la forme

11 est facile de voir qu’on ne peut se donner qu’une seule solution commune', car si l’on voulait prendre deux solutions communes.

x — x,y — C || x = u, y = C , les valeurs de a et b tirées des équations de condition C = a» -f- b, C' = aa! -f- b ,

seraient les mêmes que les valeurs de a1 , b' , tirées des équations

semblables