CHAPITRE II

ff = a' a. + b' , C — a a -f- b'.

Les équations (1) et (2) se réduiraient donc à une seule.

Cela est d’ailleurs évident , car si l’on se donne la solution commune = = on aura

(3)... C — acL + b, (4)... £ = a'* + b'.

Pour former les équations qui admettent cette solution , on remplacera dans (1) et (2) , les indéterminées b, b' , par leurs valeurs £ — au, £ — au-, ce qui revient à retrancher (3) de (1) ,et (4) de (2); les équations résultantes

admettront la solution x= a., y — £, quelles que soient d’ailleurs a et a ; et pour que ces équations ne se réduisent pas à une seule, il suffira d’assigner des valeurs différentes aux coefficiens arbitraires a, a'.

On ne pourra donc pas se donner une seconde solution commune, x — <t' , y — £' ; car cette solution devant convenir aux équations (5) , on aurait

£' — £ = a(*' — «), £' — £=za'(a — #); d’où a — a'.

Il en résulte que deux équations du premier degré à deux inconnues ne peuvent jamais admettre qu’une seule solution commune. Ce qui s’accorde avec le principe du n° 4°.

2* Exemple. Soient les deux équations générales du premier degré entre trois inconnues

2 = ax -f- b y c , 2 = a' x -f- b' y -J- c.

On ne saurait donner arbitrairement plus de deux solutions communes à ces équations; car si l’on prenait 4rois solutions communes, les trois équations de condition qui serviraient à déterminer a, b, c, seraient les mêmes que celles qui détermineraient a' , b' , c ; on trouverait donc a ~ a' , bs=b', c=e'. Les équations demandées se réduiraient donc à une seule ; ce qui est contre l’hypothèse.

En général , lorsqu’on a deux équations complètes du même

ALGEBRE.

degré à deux inconnues j on ne peut se donner qu’ autant de solutions communes au plus , qu'il y a de coefficiens moins un dans l’une de ces équations.

§ VIII. Des inégalités.

60. Les inégalités étant d’un fréquent usage dans l’Algèbre, nous allons en faire connaître les principales propriétés.

l°. Une inégalité n'est pas troublée, lorsqu'on ajoute à ses deux membres ou qu’on retranche de ses deux membres une même quantité-, cela est évident.

Ainsi, 7> 5 donne 7+3>5-f-3, 7 — 3>5 — 3.

2°. Pour faire passer un terme et un membre d'une inégalité dans un autre, il suffit de changer le signe de ce terme.

Par exemple, x — a>6 donne x>f> +a, car en ajoutant a aux deux membres de la ir* inégalité, on obtient la seconde. .

De même, x + a > b donne x > b — a,

car en retranchant a des deux membres de la ire inégalité, on obtient la seconde.

Ainsi, x — 2> 7 donnex> 7 +2, ou x>g et x 4- 2 > 7 donne x > 7 — 2, ou x 5.

3°. Lorsqu'on change les signes des termes d'une inégalité , il faut renverser le signe d'inégalité, c'est-à<lire changer^ en ou en >,• car cela revient à faire passer tous les termes du i*r membre dans le 2*, et ceux du 2* dans le i*r.

Par exemple, d’après (2°) l’inégalité

x — a > b — x donne — b + x > — x-\-a,

et cette dernière revient à — x -f- a < — b x.

4°. On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par une quantité positive.

JC Cl

Ainsi , x <" a donne 2X <” 2 a, - < -.