CHAPITRE II

Ces inégalités donnant^ > x — a, .y <6-x, il faut que x — a 6 — i, d’où i<[

La limite supérieure de x est donc 4- 3* Exemple. Soient y — x 2 , .y + x > 6.

On verra que x n’a pas de limite, et que y^> 4; la limite inférieure de y est donc 4-

4' Exemple. Soient (i) . . . x — 3y ]> 2 , x — 2y <8.

On en déduit x>2-f-3y,x<^8-|- 2y- Donc 2 -f- 3y <| 8 -f- 2y j d’où y < 6.

Résolvant les inégalités (i) par rapport à y, il vient

d’où

Par conséquent , on peut donner h y des valeurs arbitraires moindres que 6, les valeurs correspondantes de x ne seront assujetties qu’à être comprises entre 2 ■+■ 3y et 8 -f- 2y. Il reviendra au même d’assigner à x des valeurs arbitraires moindres que 20 , les valeurs correspondantes de y ne seront assujetties qu’à

être comprises entre — ^ — ■ et — - — .

Si l’on donnait à x des valeurs plus grandes que 20 , ou à y des valeurs plus grandes que 6, les inégalités (1) deviendraient contradictoires

Par exemple, soit x — 21 ; les inégalités (1) deviennent

21 — 3y>2, 21 — 2^<8; d’où y<^,y>-g-

Ces deux dernières inégalités sont évidemment incompatibles.

5' Exemple. Soient x — y <4> - x — ^ y >■ 6.

On en déduit x<[y-j~4, xr y — |— 1 4-

D’où y + 4 >.y -f- i4'

Cette dernière inégalité n’étant pas possible, les inégalités pro-

posées sont incompatibles. On peut le vérifier, car elles reviennent à x — y < 4 > x -—y > >4, et il est impossible que la différence entre x et y soit à la fois moindre que 4 et plus grande que i4.

66. On déterminera d’une manière semblable les limites de deux variables dans un système quelconque d’inégalités.

Par exemple, soient données trois inégalités du premier degré entre les variables x, y, et supposons que, résolues par rapport à x , elles conduisent à

x<^a-\-by , x^>a -\-b'y, x -\-b" y.

Il faudra et il suffira que y satisfasse aux conditions â + by> a+b'y, a+byy>a" +b"y -,

ce qui fournira deux limites dey.

Par une raison semblable, sien résolvant les inégalités proposées par rapport à y, on trouve

y<C.c + dx, y>e' +d’x, y > c -|- d" x, il ert résultera

c-f-dx^c'-f-d'x, c -f-dx>c" + d"x;

ce qui déterminera deux limites de x.

Si les inégalités proposées sont

Ci) ...x — ay<8, x — 3y>a, x — y> 12,

on trouvera x >■ 16, x < ao, y > 4 > y <C 6.

Toutes les valeurs de x seront donc comprises entre i6 et 20 ; celles de y tomberont entre 4 et 6.

Lesystème X — 2y>8, x — 3y<2, x — y<ia,

ne peut subsister, car il conduit aux inégalités contradictoires