CHAPITRE II

PROBLÈMES

67. 1” Problème. Trouver deux nombres entiers positifs , dont la somme soit plus petite que 8 , et dont la différence soit plus grande que 2.

Soit x le plus grand des deux nombres cherchés , et y le plus petit; il faudra que

Ces inégalités résolues par rapport à y donnent

ce qui ne fournit pas de limite de x.

Les inégalités (1) résolues par rapport à x, conduisent à

ce qui exige que 2 -f-y <£ 8 — y ; d’où y < 3.

On ne peut donc donner à y que les valeurs 1 et 2.

Pour y = I , les inégalités (2) donnant x < 7 , x > 3, les valeurs correspondantes de x sont 4, 5 et 6.

Pour y — 2, les inégalités (2) donnant x < 6 , x > 4 1 1® seule valeur correspondante de x est x = 5.

La question proposée admet donc les quatre solutions

y = i\y = 1 ly =z l .j z= 2 x = 4'x=5lx=:6]x^x5.

On parvient aux mêmes solutions en résolvant d’abord les inégalités (i) par rapport ày ; car elles donnent

(3). . . y < 8 — x, y < x — 2; et y ne pouvant être moindre que 1 , il faut que

8 — x > 1 , x — 2> i ; d’où x < 7 , x ]> 3.

On ne peut donc donner à x que les valeurs 4 > 5 , 6.

Or, d’après les inégalités (3) ,

x = 4 donne y < 4> y <C 2» donc y = 1,

x — 5 donne y < 3, y < 3; donc y = 1 et y — 3,

x = 6 donne y < 2, y < 4l donc y = 1.

1 4o ALGÈBRE.

II est facile de voir que ces quatre solutions sont les mêmes que les précédentes.

2* Problème. Trouver deux nombres entiers positifs dont la somme soit moindre que 4, et dont la différence soit moindre que a.

Si l’on désigne par x le plus grand des deux nombres cherchés , et par y le plus petit , on aura

(l)... ar + y<4, .r — y<2, X > y.

Ces inégalités résolues par rapport à x donnent

Or

*<4 — y> *>y exige que y<4 — y;.d’où^<a,

2 + y, x^>y exige que y <C 2 -d-j»; d’où o < 2.

On ne peut donc prendre que y = 1.

D’ailleurs , y = 1 réduit les inégalités (2)

La question proposée n’admet donc que la seule solution y — 1 , x = 2.

On parvient au même résultat en résolvant les inégalités (1) par rapport à y ; car elles donnent

f.:î ;)”1 ». I» ; > ' • 1 1 ’ ^ ' ■';* ; :r ■ • : ' Lvl

Ces dernières exigent que

x — a<4 — xt x — 2 <C xi d’où x < 3 et 2 ]> o.

Or, y doit être un nombre entier positif moindre que x. On ne peut donc faire que x=2. Cette valeur de x réduisant les inégalités (3) à y 2 , y ]> o , la seule valeur de .y est y — 1 .

Il n’existe donc que la seule solution x = 2, y = 1.

3e Problème. Un troupeau est composé de moutons et de chèvres. Le nombre des moutons j diminué du double du nombre des chèvres est plus petit que 7; le nombre des moutons j diminué du triple du nombre des chèvres , est plus grand que 4- Il s'agit de trouver le nombre x des moutons et le nombre y des chèvres.

Cet énoncé conduit à