CHAPITRE II

(i)... x — 2y<7, X — 3y > 4 ; d’où (a)... x<2 y + 7, *>3y + 4.

Les inégalités (2) exigent que,y satisfasse à la condition

La nature de la question ne permettant d’admettre que des nombres entiers positifs pour x et y, on ne peut faire que 1 et y= a.

Pour y= 1 , les inégalités (2) donnant * < 9, * > 7 , on ne * peut admettre que x = 8.

La valeur^ = 2 ne satisfait pas au problème, car les inégalités (2) donnent x < 1 , * ]> 1 o. «

La question proposée n’admet donc que la seule solution x = 8, y — 1.

Par conséquent, le troupeau était composé de 8 moutons et d’une chèvre.

On parvient plus longuement au même résultat, en résolvant les inégalités (1) par rapport à y, car on en déduit

(3)... y<s-^, d’où

ar — 7

< — 5 — , et par suite x < 1 3.

Or, y est moindre que — ^ — > et y ne peut être plus petit x (.

que 1 ; il faut donc que — ^ — > 1 ; d’où *x > 7.

On ne peut donc assigner à x que les valeurs 8, 9, 10, n, 12. Cela posé :

Pour x = 8, les inégalités (3) deviennent y > -, y < | j donc y = 1 .

Pour toutes les autres valeurs 9, 10, 1 1 , 12, de x, les inégalités (2) fournissent des limites de y qui ne comprennent aucun nombre entier. Ces valeurs ne sont donc pas admissibles.

ALGEBRE.

La seule solution entière positive des inégalités (i) est donc

68. Lorsqu’on ne peut pas déterminer directement la valeur d’une inconnue a?, on a quelquefois recours aux inégalités, pour démontrer que cette inconnue ne peut être ni plus grande, ni plus petite qu’une quantité connue C; on en déduit x~S.

Par exemple, si le double d’un nombre inconnu x, augmenté de 7, ne peut surpasser 19, et si le triple du même nombre, diminué de 5, ne peut être moindre que i3, on en conclura que ce nombre est 6. En effet :

2x + 7 ne pouvant surpasser 19,

il est évident que 2X ne peut surpasser 19 — 7 ou 12, et que par conséquent

x ne peut surpasser 6.

Or, 3x — 5 ne peut être moindre que i3; ajoutant 5 , on voit que 3x ne peut être moindre que 18,

x ne peut donc pas être moindre que 6.

11 faut donc que x = 6.

Afin de simplifier l’écriture des calculs, nous adopterons le signe > pour signifier n est pas plus grand que.

De sorte que x> 6 indique que x n’est pas plus grand que 6.

De même , x < 6 signifie que x n est pas plus petit que 6.

En général :

x > et tient lieu des deux conditions x a , x—a.

De même ,

x < a remplace x > a. et x == et.

Enfin, le système *><*, u, donne x=a.

Si l’on fait usage de cette notation pour résoudre la question précédente, on sera conduit aux relations

2X+7>«9, donne 2x>ig — 7, 2x>i2, s>6,.

3x — 5<fci3, donne 3x’«fci3-j-5, 3x«fci8, x<6.