Nous examinerons d’abord comment on peut trouver

t44 ALGÈBRE.

toutes les solutions entières dJ une équation numérique du premier degré à deux inconnues.

i*r Exemple. Soit l’cquation ^x = ~ — 3 y.

Pour découvrir ses solutions entières , on fera disparaître tous les dénominateurs en multipliant par 4 > ce qui donnera

3x = 42 — iay.

Supprimant le facteur 3 commun a tous les termes, la question sera réduite à chercher les solutions entières de l’é* quation

On voit que chaque valeur entière arbitraire e de y fournira une valeur entière correspondante i4 — 4e de x. Le système y — e , x = i4 — 4e satisfaisant nécessairement à l’équation (i), quel que soit e , cette équation admet une infinité de solutions entières.

Si l’on ne veut admettre pour les inconnues que des valeurs

entières positives , il faudra que <C 1 4 d’où.y< K

On ne pourra donc donner à y que les valeurs 1,2,3; les valeurs correspondantes de x seront 10, 6, 2. De sorte que l’équation (1) n’admet que trois solutions entières positives plus grandes que zéro.

En général , lorsqu’après avoir fait disparaître tous les dénominateurs , on a ramené l’équation à la forme ax + by = c, si le coefficient de l’une des inconnues est égal à l’unité, chaque valeur entière arbitraire de l’autre inconnue conduit à une solution entière de l’équation proposée. De sorte qu’il est facile d’obtenir les diverses solutions entières de cette équation.

Quand aucun des coefficiens des inconnues n’est égal à l’unité , on ramène ce cas au précédent , en faisant dépendre la résolution de l’équation proposée de celle d’une équation dans laquelle le coefficient de l’une des inconnues est égal à l’unité. En voici des exemples :

2e Exemple. Soit l’équation (2). . . yx -f- o.y = 9.