CHAPITRE

Ou en tire

9 — lx

Or, x doit être un nombre entier; par conséquent, pour que cette valeur de y soit aussi entière, il suffit et il faut que

“ soit un nombre entier quelconque e. On a donc

j = — 3x + e , 9 — x==2e; d’où (3). . . x = 9 — 2e, y — — 3 (9 — 2e) + e = 7e — 27.

Les valeurs 9 — 2e, 7e — 27, de x et y, satisfont à l’équation (2), quel que soite; car elles réduisent cette équation à l’identité

On obtiendra donc toutes les solutions entières de l’équation (2) en donnant à l’indéterminée e les valeurs o, 1 , 2, 3 , etc. , — 1 , — 2 , — 3 , etc.

Par exemple, l’hypothèse e ~ 2 donne x= 5, y = — i3.

Si l’on ne veut admettre que des nombres entiers positifs pour x et y , il faudra que

Le seul nombre entier compris entre - et — étant 4, l’équa-

tion proposée n’admet qu’une solution entière positive.

Pour obtenir cette solution , on fera e= 4; les formules (3) donneront x =c 1 , y — I .

3e Exemple. Soit l’équation (4) ... 5.r -f- 3y = 49- On en déduit

Or x doit être entier. Par conséquent , pour que la valeur de

y soit entière , il suffit et il faut que entier quelconque e. On a donc

soit un nombre

ALGEBRE.

y — — i+e, 49 — 2X = 3e ; d’où

'Pour que -cette valeur de x soit entière , il faut et il suffit que — - soit un nombre entier quelconque e'. On a donc

x = — e •+■ e' , e = 49 — 2e' ; d’où

Ces valeurs de x et y satisfont à l’équation (4) > quel que soit e'; car elles réduisent cette équation à l’identité

Toutes les solutions entières de l’équation (4) se déduiront donc des formules

en donnant successivement à l’indéterminée e les valeurs entières o , 1 , 2 , 3 , etc. , — 1 , — 2 , — 3 , etc. /

Lorsque x et y doivent être des nombres entiers positifs, il faut que

On ne peut donc assigner à e que les valeurs 17, 18 et 19. Substituant ces valeurs de e dans les formules (5) , on trouve que

e = 17 donne x = 2, y- i3,

e' = 18 donne x = 5, y = 8,

e' = 19 donne x = 8, y = 3.

Chacun de ces trois systèmes satisfait à l’équation proposée; elle n’admet pas d’autres valeurs entières positives de x et y.

On parvient plus directement aux formules (5) , en préparant chaque dividende de manière que le reste n’excède pas la moitié du diviseur. Voici le calcul ainsi effectué: