CHAPITRE II

L équation (4) . . . 5x -f- 3 y = 49 donne

■ ix -f

On fait & ~ = e' ; d’où x = 3e—49,

y = — 2x + e' = — 2 (Zé — 4g) + e'= 98 — 5e'.

Enfin, on peut effectuer le calcul, en extrayant tous les entiers contenus dans chaque expression fractionnaire. L’équation (4) donne

Posant — | — = e , il vient x = 3e — 1 ,

Les valeurs (6). . . x = 3e — 1 , y = ,8— 5e ,

satisfont a l’equation (4), quel que soit e ■ car elles la réduisent à l’identité i5e — i5e = 4g 4g.

Toutes les solutions entières de cette équation peuvent donc se déduire des formules (6) , en donnant à l’indéterminée e les valeurso, •, 3, 3, etc., — 1,— à, —3, etc.

On emploie de préférence ce dernier procédé, parce qu’il conduit à des formules plus simples.

Remarque. Chacune des formules (5) et (6) fournissant toutes les solutions entières de l’équation 5x + 3r = on ^oît pouvoir les déduire l’une de l’autre. En effet, l’égalité des valeurs 3e 49> 3e — 1 , de x , conduit à e' = 16 -f- e; et la substitution de cette valeur de e dans y= 98 —5e' donnant

y =18 -5e, on voit que les relations (6) sc déduisent des relations (5), en remplaçant e par 16-f-e.

4* Exemple. Soit l’équation i5x -f- 2ov = 7

elle donne

j—ZZTJgg— ■ 7 — 5y

ie - — j- — soit un nombre entier quelconque e. Donc

i4« ALGÈBRE.

Or y «levant être entier, pour que x le soit, il faut et il sullît que

x = — l'4-e, 7 — 5y=zi5e-, d’où 5 ~5

Comme aucune valeur entière de e ne peut réduire g — 3e a

un nombre entier, l’équation proposée n’admet aucune solution entière.

II était facile de prévoir ce résultat} car x et y devant être des nombres entiers, le premier membre i5x -f- 2oy est exactement divisible par le plus grand commun diviseur 5 des coefficiens i5, 20, de x et y ; le second membre 7 devrait donc être divisible par 5; ce qui n’a pas lieu.

Problèmes indéterminés à deux variables.

71. La recherche des solutions entières d’uue équation numérique du premier degré à deux inconnues ne pouvant plus offrir de difficulté, nous allons traiter quelques problèmes, qui conduiront à des équations de cette espèce, et dans lesquels la nature de la question ne permettra d’admettre pour les inconnues que des nombres entiers positifs plus grands que zéro.

i'r Problème. Payer 70 francs avec des pièces de 5 francs et de 20 francs.

Si l’on donne x pièces de 5 francs et y pièces de 20 francs , on aura payé x fois 5f -f- y fois 20*, ou 5x -f- 2ov francs. Il faut doue que

5x4-20^ = 70; tl’oùx = 2(7 — 2 y).

Le nombre des pièces de chaque espèce devant être entier et positif, on ne doit admettre que les valeurs entières positives de y qui rendent 7 — 2 y positif. On ne peut donc assigner à l’indéterminée y que les valeurs 1, 2 , 3 ; les valeurs correspondantes de x déduites dex = 2(7 — 2 y) sont 10, 6, 2. La ques-

CHAPlTRt II. t49

tion proposée n’ admet donc que les trois solutions

x — io I x =6 I; x — 2.

2* Problème. Payer 7 l francs avec des pièces de 5 francs et de 20 francs.

Ce problème n’admet aucune solution; car il conduit à l’équation

5x ■+• 2o^y = 71, d’où x = -^ Çy ,

et la fraction ~ étant irréductible, aucune valeur entière de y

ne peut donner une valeur entière de x correspondante.

3e Problème. Payer 26 francs avec des pièces de 2 francs et de 5 francs.

Si l’on prend x pièces de 2 francs et y pièces de 5 francs, ces x y pièces vaudront 2x + 5 y francs. Il faut donc que

(1)... 2x-f- 5^ = 26. Ou en tire

Soit

on a y — 2e

Les valeurs, 2e, i3 — 5e, de^ et x, devant être entières et positives, il faut que

2e >o, 5e < i3; d’où e>o, e<-î=-,

On 11e peut doucassiguer à l’indéterminée e que les valeurs 1 et 2. Or,

e=i, donne x = 8, y = 2, e=2, donne x = 3, y = 4-

On peut donc payer 26 francs avec 8 pièces de 2 francs et 2 pièces de 5 francs , ou avec 3 pièces de 2 francs et 4 pièces de 5 francs.

4' Problème. Payer 26 francs en donnant des pièces de 2 fr.j et en recevant des pièces de 5 francs.

Si l’on donne x pièces de 2 francs, et si l’on reçoit y pièces de 5 francs, on aura payé 2.r — 5 y francs. Il faut donc que

Des calculs analogues aux précédens donneront y = 2e , x = 5 e -f- i3.

On obtiendra donc toutes les solutions de la question proposée , en donnant à e les valeurs 1,2, 3,4, etc.

Par exemple, e = 1 donne x= 18, y = 2.

Et en effet, si l’on donne 18 pièces de 2 francs ou 36 francs, et si l’on reçoit 2 pièces de 5 francs ou 10 francs, ou aura payé 36f — iof ou 26 francs.

Le problème admet donc une infinité de solutions.

5* Problème. Un troupeau est composé de chèvres et de moutons. Le quintuple du nombre des chèvres est égal au triple du nombre des moutons augmenté d'un. Il s’agit de trouver le nombre des chèvres et celui des moutons.

Si x et y désignent ces deux nombres, on aura

5x = 3y+i; dou y = — 0 — = j =2X —

JÇ —J- |

Soit — z — = e; on en déduira x = 3e — 1,

Chaque valeur entière positive de e, substituée dans x=3e — 1, y — 5e — 2, fournira une solution de la question proposée.

6' Problème. Les neuf Muses j portant chacune le même nombre de couronnes de fleurs j rencontrent les trois Grâces et leur offrent des couronnes. La distribution faite j les Grâces et les Muses ont chacune le même nombre de couronnes. On demande combien les Muses portaient de couronnes , et combien elles en donnèrent. ( Arith 76' prob.j page i56.)

Si chaque Muse porte x couronnes et donne y couronnes, les neuf Muses qui avaient g.r couronnes, auront donné gy couronnes aux trois Grâces. La distribution faite , chaque Musc