CHAPITRE II

n’aura plus que ( x — y') couronnes; les trois Grâces ayant reçu çjy couronnes , chacune portera 3^ couronnes. Mais alors, chaque Muse et chaque Grâce, doit avoir le même nombre de couronnes ; donc

x — y = 3 y ; d’où 9* = 36 y ■= le nombre total des couronnes .

Cette dernière équation démontre que tout multiple de 36 peut être pris pour le nombre total des couronnes. Ce qui s’accorde avec ce qu’on a vu en Arithmétique (page i56).

7' Problème. Former la longueur du mètre en plaçant des pièces d’or, de 20 francs et de 4 o francs les unes à la suite des autres. Les diamètres de ces pièces ont 2 1 et 26 millimètres.

Si l’on prend x pièces de aof et y pièces de 4°f> lu somme 2ix -f- o&y millimètres des diamètres de ces pièces devra être égale à 1000 millimètres. Il suffit donc de chercher les valeurs entières de x et y, qui satisfont à l’équation indéterminée

On en déduit

2ix -f- 26^ = 1000.

Posant i3 — 5y — 2te-, on a x = 47 — y- (- e , i3 — 21e , ,3 — e

Soit 3 — e=5e'; on a y = 2 — ea=3 — 5e'.

Substituant cette valeur de e , on trouve

La nature de la question exigeant que y et x soient entiers et positifs, il faut et il suffit que l’entier e' satisfasse aux inégalités

aie'> 10, i3e'< 3o ; d’où e'>^, e'<^.

On ne peut donc faire que e' = i et e = 2.

e' = 1 donne x = 34 , ^=11,

e =s 2 donne x= 8, y= 3a.

i5* ALGÈBRE.

La première solution est celle qui a été donnée en Arithmétique {page

Remarque. Lorsqu’on assigne d’autres valeurs entières à e , une des inconnues x,j-, devient négative y ce qui indique qu’on peut obtenir la longueur du mètre en portant d’abord des pièces de 2of ou de 4°f dans un sens , et en reportant des pièces dé 4°f ou de aof en sens inverse.

Par exemple, la valeur e's= o donnant *=6o, y—' — io, on met 60 pièces de 2of les unes à la suite des autres ; on porte 10 pièces de 4°f ®n a®1** inverse, en revenant de la dernière pièce de 2of à la première ; la distance de la dernière pièce de 4of.i la ire pièce de 20f est 1000 millimètres ou un mètre; car 60 fois 21 millimètres, moins 10 fois 26 millimètres, forment 1 000 millimètres.

72. Pour découvrir les propriétés générales des solutions entières des équations du premier degré à deux variables, nous observerons que toute équation de cette espèce est réductible à la forme

(1)... ax + by~=c.

a, b , c, désignant des nombres entiers positifs ou négatifs premiers entre eux.

Lorsque a et b ont un facteur commun i', l1 équation (i) n admet aucune solution entière j car x et y devant être des nombre* entiers, le premier membre ax -f- by est exactement divisible par le commun diviseur d de a et i; le second membre c devrait donc jouir de la même propriété; ce qui est impossible, puisque a, b et c sont premiers entre eux.

Nous allons démontrer que lorsque, les coefficiens a, b des inconnues x,y nont pas de facteur commun, E équation (1)1 ax -f- by = c admet toujours une infinité de solutions entières.

Cela est évident, lorsque le coefficient de l’une des inconnues est égal à l’unité; car chaque valeur entière arbitraire de l’autre inconnue, conduit à une solution entière de l’équation proposée.

Quand aucun des coefljciciu ay b n est égal à l’unité, on