CHAPITRE II. i

peut ramener ce cas au précédent , en faisant dépendre la résolution de l’équation (i), de celle d’une équation dans laquelle le coefficient de l’une des incounues est égal à l’unité.

En effet, soit ù<a; l’équation (i) donne

(2)... by — c — ar,

On pourrait extraire les entiers contenus dans cette valeur de y, en divisant c et a par b ; mais comme le but de ces divisions est de réduire le coefficient d’une inconnue à l’unité, il suffit d’effectuer la division sur le coefficient a de x.

Divisant donc a par b , on obtient un quotient entier q et un reste r b ; on a

a = bq-\-r, y-.

c—(bq + r)x __

: -b = -qx-

Or, x doit être entier ; par conséquent, pour que y le soit, il

C f"JC

suffit et il faut que — ^ — soit un nombre entier quelconque e. On a donc y = — qx -f- e , c — rx = be-, d’où (3) ... rx = c — be.

Lorsque r = 1 , le problème est résolu , car on a

a =. bq 1 , x — e — be, y — e — qx = e — q (c — be ) = (1 -f- bq ) e — cq.

Substituant ces valeurs de a, x et y dans l’équation (1), on est conduit à l’égalité

b3qe — b*qe-\- be — bc + beq — beq c=c,

qui est vraie quel que soit e. •

Par conséquent, si l’on assigne des valeurs entières quelconques à l’indéterminée e, les formules

x ss c — be, y = ( 1 -+• bq)e — cq ,

fourniront des valeurs entières correspondantes de x et y, qui satisferont à l’équation (i). De sorte qu’011 obtiendra une infinité de solutions entières de cette équation.

i54 ALGÈBRE.

Exemple. Soit 7X -f- iy = g ; on a

Les formules x — c — be, y = ( i -f- bq)e — cq , deviennent x = g — 2e, y — qe — 27.

Ce qui s’accorde avec les résultats que l’on a obtenus dans le a* exemple ( page 1 45.)

Quand r n’est pas égal à l’unité, on lait sur l’équation. .... (3) . . . rx = c — bc ,

des opérations analogues à celles qui ont été effectuées sur l’équation

(2) . . . by — c — ax\

et la difficulté est diminuée, car il s’agit de parvenir à une équation dans laquelle le coefficient de l’une des inconnues soit égal à l’unité, et les coefficiens r, b, des inconnues x,e, dans (3), sont respectivement moindres que les coefficiens b, a des inconnues y, x dans (2).

La division de b par r, fournit un quotient entier q' et un reste r' < r; on a

b=zrq'+/.

c — (rqr' — |— r^e r

Or, e est entier; par conséquent, pour que x le soit, il

suffit et il faut que — soit un nombre entier quelconque e.

On a donc

x = — q'e -j- e' , (4) ... /e — c — re'.

Quand r'=i k le problème est résolu; car d’après les relations. (5)... e—c — re', x — — q'e-\-e',y — — qx-J-e,

toute valeur entière arbitraire de e', conduit à une valeur entière correspondante de chacune des inconnues e, x, y.

Si l’on exprime x et y en fonction de e’, on trouvera

f6f f x= (1 -f- rq')e — cq’ ,

l y = (> + qq'Y — (q + r 4- qq'r)e.