Q1 A PITRE II

II est facile de s’assurer que d’après les relations a=bq-\-r, br=.rq' + i , les valeurs (6) de x et y satisfont h l’équation (i) . . . ax -f- by s= c , quel que soit e'. De sorte que toutes les solutions entières de l’équation ( i)se déduisent des formules (6), en donnant successivement à e' les valeurs o, i , 2, 3, 4> etc., ““ I , 2 , — — ~ 3 , “■ 4, etc.

Exemple. Soit l’équation 5 r 3y — 49- On a

a = 5, b= 3, c = 4g, q= i, r— 2, q' = i , / — i ; et les formules (6) donnent

rt =3e' — 49> — gB — 5e'.

Ces valeurs satisfont à l’équation proposée quel que soit e. Ce qui s’accorde avec les résultats que l’on a obtenus dans le 3e exemple ( pages i^5 et 146. )

Lorsque le reste / n’est pas égal à l’unité , on opère sur (4) comme sur (2) et (3).

Mais , sans pousser plus loin les calculs , on peut observer que les restes successifs r, /, etc. , sont les restes qu’on obtiendrait en cherchant le plus grand commun diviseur de a et b \ car on a d’abord divisé a par b, ce qui a fourni le quotient entier q et le reste r <[ b ; on a divise b par r , ce qui a donné le quotient entier q' et le reste r'< r; et ainsi de suite.

Or, a et b sont premiers entre eux ; on trouvera donc néces- 1 sairement un reste égal à l’unité ; et comme les restes r, r’,etc. , sont les coerticiens des inconnues dans les équations successives (3) , (4) , etc , on parviendra toujours à une équation dans laquelle le coefficient d’une inconnue sera égal à l’unité. Ce qui démontre le principe énoncé ( page i52. )

73. Quand on connaît une solution entière x — y — G, de l’ équation (1) . . . ax -f- by = c , on peut en déduire immédiatement toutes les autres solutions entières de cette équation. En effet ; puisque x = «t, y = 6, satisfait à (1) , ou a

ax -f- bG = r ; d’où ax -f- by = aa. -f- bG.

Cette dernière donne (2). . . y

i56 ALGÈBRE.

Pour que soit entier , il suffit et il faut que b divise le produit a X (jc — *). Or, a et b sont premiers entre eux ; b doit donc diviser x — tt ( .4rith., n° (fi , page 44)- Désignant le quotient par e, on aura

x — tt — be, et (2) donnera y — £ = — ae; d'oli

(3) . . . x = a -f- be , y — G — ae.

Les valeurs (3) de x et y satisfont à l’équation (1) quel que soit e , car en les substituant on parvient à la relation. aa. -}- bC = c.

Lorsqu’on connaîtra <t et £, toutes les solutions entières de l’équation (1) se déduiront des formules (3) , en donnant à l’indéterminée e les valeurs o , 1 , 2 , 3 , etc. , — 1 , — 2 , — 3 , etc.

i*r Exemple. Soit l’équation 7X -J- 2y = g.

On voit facilement que x = 1 , y — 1 , satisfait à celte équation. Supposant donc * = 1 , £ = 1 , a »= 7 , b — 2 dans (3) , on trouvera

Toutes les solutions entières de l’équation 7X -I- 2 y — 9 se déduiront des formules (4) en donnant à e les valeurs 0,1,

2 , 3 , etc. , 1 , —— 2 , 3 , etc.

2* Exemple. Soit l’équation «x — by = o.

On jr satisfait eu faisant x = o, y = o j de sorte que, dans ce cas , * = ff = o. Les solutions entières de l’équation pro-

posée se déduiront donc des formules x = be, y = — ae, en donnant à e des valeurs entières quelconques. (On suppose toujours que a et b n’ont pas de facteur commun.)

Remarque. Les formules (3)... x=« -f- be, y— G — ae, démontrent que si e augmente de 1 , la valeur de x augmentera de b, et celle de y diminuera de a. Par conséquent, les valeurs entières successives de x forment une progression arithmétique dont la raison est le coefficient b de y, et les valeurs entières correspondantes de y forment une progression arithmétique, dont la raison est le coefficient « de x, pris avec le signe — .

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