GS

Cette valeur — de h substituée dans tous les coéffim

ciens de ( 3 ) , réduit chacun d’eux à un nombre unique , en sorte que cette transformée peut être représentée par

On est donq conduit à cette règle pour faire évanouir le second terme d’une équation : il faut remplacer l’inconnue de cette équation, par une nouvelle inconnue augmentée du coéfficient du second terme , pris en signe contraire , et divisé par f indice du degré de l'équation. En effet , si l’on désigne par a, b,c , etc. les racines, en y comprenant les signes, de l’équation en x , et par a, (i , 7, etc. celles de la transformée en y, on aura toutes ces équations en nombre m ,

*= a + 7 „i P=£+^ * 7 ==c + ~ etc.

dont la somme est

*+P+7 -+-$+ etc. — A-\-a+b+c+d-+- etc.

mais d’après («73), on a a+b+c-t- etc. = — A; donc

+• etc. = 0 ,•

donc (idem), dans la transformée en y, le coéfficient du second terme doit être nul.

Pour opérer l’évanouissement des troisième, quatrième , etc. termes de ( 3 ), on aurait à résoudre des équations des second , troisième , quatrième , etc. , degrés en h : l’évanouissement du dernier terme , dépendrait de la résolution d’une équation de même

degré en h que la proposée l’est en x; en effet, ce dernier terme est ce que devient la transformée (3) sous l’hypothèse y—o , à laquelle répond x= — h d’après (a) : on ne gagnerait donc rien à le faire évanouir. ,

379. Si l’on voulait faire disparaître un terme quelconque d’une équation qui manquerait déjà d’un autre terme, on introduirait dans cette équation le terme manquant : en effet, par la substitution précédente y — A pour x, on forme toutes |ps puissances de^, depuis m jusqu’à zéro, et conséquemment une transformée complète du degré m. On pourrait penser que par la substitution

X—jr+(h+A),

qui renferme deux indéterminées h et A , il serait possible de faire disparaître deux termes; mais on observera que deux indéterminées combinées comme les précédantes, n’équivalent qu'à une seule : il est aisé de s’assurer qu’on ne gagnerait rien à supposer

x =y+ (a h -f- bk ) ,

a et b étant deux nombres donnés , et h et k deux indéterminées : car pour faire évanouir, par exemple , le second terme et le troisième , on aurait à satisfaire aux deux équations de condition

m(ah-\-bk)+A = o

' T —^ n ^ — — {ah+bk)' + {m — i)A{ah+bk)+B — o,

la première donnerait

ah+bk = —

ÉLÉMENS D’ALCÈRRE. 367

cette valeur de ah+b/i reportée dans la seconde, la réduirait à celle-ci

( m—i)A • — imB-o,

condition qui doit être satisfaite d’elle même pour que les deux termes en question s’évanouissent ensemble. Ainsi , par exemple , la proposée étant

la condition précédente a lieu , puisqu’elle devient 2 — a —o ; et on a pour transformée

On pourrait encore par la substitution (a) transformer la proposée eu une équation dans laquelle le coéfficient de l’un des termes, serait égal à un nombre donné : à cet effet , on égalerait ce coéfficient au nombre donné , et on déterminerait h d'après cette condition.

On diminuerait chacune des racines de la quantité h, eu posant

y— x — A, d’où x=y+h,

et faisant cette substitution pour x dans la proposée (1).

280. Si l’on veut que les racines de la transformée deviennent égales à celles de la proposée , multipliées par une quantité donnée h , il faudra établir la relation

Y—hx, d’où x—^ (4)

substituant pour x cette valeur dans (i ) , on aura la transformée

ym — * »

laquelle multipliée par h m , deviendra

y” 1 + Ahy™— B h' / m — " + + Th m -y+P r h m =o.

Ainsi pour convertir une équation en une autre dont les racines soient des multiples h de celles de la première, il suffira de multiplier les termes de la proposée , à partir du second inclusivement , par les puissances successives h, h ’ , h 5 h m .

C’est au moyen de la relation (4) qu’on peut transformer l’équation

Ax m +Bx m —'-{-Cx m —*-{-Dx m - 3 -+-:.+ Tx-\-F=o...( 5) en une autre dans laquelle le coéfficient de la plus puissance de l’inconnue soit l’unité , les autres coéfficiens étant cependant des nombres entiers ; en effet, par la substitution (4) faite dans (5), on a

■-+- Ch'y*—- *4- -t- Vh m =o ;

supposant l’indéterminée h=A, et divisant par A , on trouve

ym+pym — i CAy m ~‘ x -\- -+- V A m ~ x — O (6)

où tous les coéfficiens sont des nombres entiers. Supposons maintenant que a, (5, 7, etc., soient les racines de l’équation (6) : on aura (270)

yn^B r n-i + + yA m - 1 = {y—*){jr—$)(j--i) etc.

si l’on remplace y par Ax dans les deux membres de cette identité , on obtiendra celle-ci

4m x m + Bjm—l x m—l + CA m —'X m —*+ +FA m ~ l ,

— (Ax — *) (Ax — P) (Ax — 7) etc*

ÉLÊMENS D’ALGÈBRE. 36t>

en observant que les facteurs sont en nombre m si l’on divise de part et d’autre par A m ~ l , on trouvera

Ax m + Bjc" 1 —' + Cx" 1 —* + + V

=^(*- 5) ( x — §)(■*-;<) etc - ■

ou^, etc. sont, d’après la relation x = -,

les racines de la proposée , que nous noterons autrement par y?, q, r, etc. Ainsi la précédente devient

kxm-\-...+V=A(x — p){x — q)(x — r) etc.

parceque le produit des racines a (3 -y etc., étant

VA m ~ i, d’après (6), on a pqrt te. = '—FL.

Cette transformation nous sera utile dans la seconde section de ce traité.

Lorsqu’on a une équation telle que celle-ci

m ns

on multiplie de part et d’autre par le produit des dénominateurs, ce qui donne

mnsx' — pnsx ’ 4 - qmsx — mnr= o ,

et de cette équation on passe , d’après la règle que nous venons de donner, à la transformée

— pnsy' + qm m s'ny — m'n l s'r=o ,

dont tous les coéffîciens sont entiers.

ino CHAPITRE XXIII.

* * aiji. Etant donnée une équation, on en déduira

une transformée dont toutes les racines seront les . sous-multiples h de celles de la proposée , par la relation

x=hjr, d’où^=:| (7)

a8a. Théorème f. Une équation dont tous les coéff tiens sont des nombres entiers, celui de la plus haute puissance de F inconnue étant F unité, ne peut admettre pour ratine une fraction.

Il s’agit donc de prouver que l'équation + + . + Tx+F=o,

A, B, C, etc., étant des nombres entiers, ne peut être satisfaite par x = ^ , fraction qu’on peut supposer irréductible. En effet, la substitution de ^ pour x, donnerait

dm am — x a m — a

frrn frai — 1 frrn — a

et, après avoir multiplié de part et d’autre par Fi" 1 — « , on aurait

•j- = — [Aa m —* + Bba m —*-\-

Cb ■ a m ~ } -+- .... 4- Tb*~ J - 'a+Fb ™— «] ;

CL g* CL m

or, étant une fraction irréductible, -^-ne peut être

(io3) égal à un nombre entier.

a83. Théorème II. Si, dans une équation , F on change x en — x, et réciproquement, on changera les racines positives en négatives , et réciproquement.

\yx—y'—y * 8 « [yx—f—t\

Équation finale — y=o\ divisl Équations en contradiction. a 1

ÉLÈMENS D’ALGÈBRE. 3 7 1

Soit l'identité

x* 4- Axé -4- Bx 1 4- Cx' 4- Dx 4- F=

(x — a) yx — b) ( x — c)(x — d) yx—J)=o,

a, b, c f étant les racines en nombre et en

signes : par la substitution de — * pour x, et après avoir changé les signes de part et d’autre, on a

ad — Axé 4- Bx* — Cx' -4- Dx — F—

dont les racines — a, — b, — c, — d, — f seront toutes les précédentes en signes contraires.

De l’identité

4" A x* 4* Bx' 4" Cx -4- D ~

on passerait par la même substitution à celle-ci

x 1 — And 4- Bx f — Cx 4- D=z (x + a)(x+ b)(x + c)(x + d)=o,

d’où on déduirait la même conclusion.

On’ remarquera que le changement de x en — x change les signes des termes de rang pair, et qu’ainsi le seul changement des signes de ces termes détermine ceux des racines. \

a8/|. Théorème III. i°. Si tous les termes d'une équa lion ont le même signe , ou, ce qui revient au même , s'ils ont tous le même signe 4- , C équation ne pourra comporter que des racines négatives , si cependant elle en a de réelles ; a° si tous les signes d une équation sont alternativement 4 -et — , c'est-à-dire , si une équation ne présente que des variations de signes , elle ne pourra comporter que des racines positives , sous la restriction précédente , et en supposant que f équation soit complète.

La première proposition est évidente, en ohser-

3 7 a CHAPITRE XXIII.

vant qu’un nombre positif écrit pour x, donnera une somme de termes positifs, qui ne peut être nulle. Passons à la seconde. En changeant dans une telle équation a? en — x , tous les termes prendront le même signe ou le signe (Théor. II) : or, cette transformée ne pouvant être satisfaite que par des racines négatives, si cependant elle en a de réelles, la proposée ne pourra comporter que des racines positives, sous la même restriction.

a85. On peut encore transformer une équation en une autre, dont les racines soient réciproques

à x, relation exprimée par x=- , ou plus simple-

ment par x—

après avoir multiplié la transfor-

mée par la plus haute puissance de y, l’ordre des coéfficiens de la transformée, est inverse de celui des coéfficieus de la proposée, en sorte que le second terme manquant dans la proposée, l’avant-dernier manquera dans la' transformée. Il est essentiel d’observer que, d’après la relation

à la plus grande racine y de cette transformée répond la plus petite racine x de la proposée, et réciproquement : cette relation sera employée par la suite et il sera bon , par cette raison , de retenir la conséquence qu’elle fournit.

286. On peut enfin passer d’une équation à une autre dont les raciues soient les racines carrées de celles de la proposée, relation qu’on énoncera ainsi

y= t/x, d’où x—y'\

la substitution dans

x m -{- Àx m ~' -ï- Bx m —' . ... 4- Tx-t V—o,

donnera la transformée

yim Jjim—i J J} Jim- 4 -f- . . . . -f- Ty * + V— O,

où manquent tous les ternies des puissances impaires de /, ce qui résulte de la composition démontrée (273) des coéfficiens en racines, en observant que y'x est précédée du double signe.

287. Nous avons donc pratiqué toutes les opérations arithmétiques sur les racines inconnues d’une équation , et il n'était pas difficile de prévoir que , puisque ces opérations altèrent chacune des racines» elles doivent influer sur les coéfficiens qui en sont des combinaisons connues.

288. Ainsi , pour transformer une équation en une autre dont toutes les racines aient avec celles de la proposée , une relation donnée , il faut traduire cette relation en algèbre , en déduire la valeur de x, et la substituer dans la proposée.

Recherche du plus grand commun ditisedr entre

DES POLTNOMES ALGÉBRIQUES.

289. Soient A et B deux polynomês algébriques, ou qui ne renferment pas de logarithmes, d’exponentielles, de sinus, de cosinus, etc. : si on les ordonne par rapport à une même lettre, le plus grand commun diviseur sera le facteur commun renfermant la plus haute puissance de cette lettre : le plus grand des deux polynômes est aussi celui qui contient le plus haut exposant de la même lettre. La règle donnée (Chap. VI) s’applique, sans restriction, aux po-

lynomes, en sorte qu’il faut encore diviser le plus grand des deux polynômes par le plus petit, le plus petit par le reste de la première division, celui-ci par le reste de la seconde division, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on rencontre un reste qui fasse sa division exactement, lequel sera le plus grand commun diviseur cherché. Dans le cours de ces divisions, on pourra (idem) supprimer ou introduire dans le dividende, un facteur non commun au diviseur, et dans le diviseur, un facteur non commun au dividende; iutroduire ou supprimer tant au dividende qu’au diviseur, des facteurs différens, et meme des facteurs communs; mais dans ce dernier cas, il faudra diviser le plus grand commun diviseur par le facteur commun introduit, ou le multiplier par le facteur commun supprimé.

390. Lorsque les polynômes sur lesquels on opère sont composés d’un grand nombre de termes, on peut assez souvent rendre moins pénible la recherche du plus grand commun diviseur, en détaillant l’opération comme il suit : i° on cherchera le plus grand commun diviseur entre les coèfficiens numériques , et on divisera les deux polynômes par ce nombre , ce qui donnera les quotiens A' et B' ; a° on cherchera le plus grand commun diviseur entre les coèfficiens algébriques de là, lettre par rapport à laquelle on ordonne , et que je désigne par a, et on divisera A' et B' par ce plus grand commun diviseur, d'où résulteront les quotiens A" et B"; 3 ° enfin on cherchera le plus grand commun diviseur dépendant de la lettre a : celte série d'opérations effectuée, le plus grand commun diviseur cherché sera le produit de tous ces communs diviseurs partiels.