TERMES INTERMÉDIAIRES; THÉORÈMES SUR LES RACINES

277. Les théorèmes démontrés dans le chapitre précédent , supposent que la plus haute puissance de l’inconnue a pour coéfficient l’unité, et que tous les autres coéfficiens sont des nombres entiers positifs ou négatifs : il est donc nécessaire de démontrer que toute équation peut être réduite à cet état : d’une autre part , il est naturel de penser que , sous le même degré , la résolution d'une équation sera d’autant moins laborieuse que son premier membre renfermera moins de termes ; en sorte qu’il conviendra de chercher à réduire , autant qu’il est possible , le nombre des termes d’une équation. Comme les coéfficiens d’une équation, sont (273) des fonctions connues des racines, on conçoit que ces questions reviennent à modifier convenablement les racines de la proposée : à cet effet , en représentant par Fx—o l’équation proposée, on la transformera en une autre dont les racines aient avec celles de Fx = o, une relation exprimée par f[x,jr)=o , ce qui revient , en général , à éliminer x entre ces deux équations. Au lieu de se donner f[x,ÿ) =0,011 a souvent pour but de déterminer cette relation de manière à satisfaire à certaines conditions. Nous allons éclaircir ces généralités.

278. En supposant l’équation complète ac m +Jx m - t - y-Bx™ M Çx”'-i+.,..+ Tx+F— 0...X1),

nous nous proposerons d’abord de faire disparaître quelques-uhs de ses termes , question qui rentre dans celle de transformer cette équation en une autre dont les racines soient toutes plus grandes que celles <le la proposée d’une quantité quelconque h. Si l’on représente par y la nouvelle inconnue , on aura, d'après la condition énoncée.

y=x-\-h, d’où x=y — h (a)

substituant dans (i) y — h pour x , on obtiendra la transformée

e’est-à dire, en développant chaque puissance

(3) y m — mh

y m ~’ m(m — i) m , J V ) ; t . — ym — •

— {m — i )Ah

(in—,)(#n--a) Ah i. a

y m ~ 3 -h etc. ± h m = o zzAh m -'

± Bh m —>

-hC

—Th

équation dont les racines surpassent de la quantité h celles de la proposée : or , ce nombre h étant arbitraire, puisqu’on n’a rien prononcé sur l’augmentation de chacune des racines, on peut le déterminer par la condition que le coéffîcient d’un des termes de la transformée (3), devienne nul : on aura donc pour faire disparaître le second terme , par exemple .

A — mh — o , d’où h — — , x = r — — • ’ rn J m