Lorsqu'un polynôme comporte un diviseur in

dépendant de la lettre a , suivant laquelle il est ordonné , ce diviseur doit diviser tous les coèjficiens de cette lettre , ainsi que le terme sans a : d’où il suit que si le ooèfficient de la plus haute puissance de a, est r unité , le polynôme ne peut avoir de diviseur indépendant de a.

Soit, en effet, le polynôme A + Ba + Ca' 4- Da' 4 - etc., ayant un diviseur d indépendant de a: on aura l’identité

A 4- Ba 4- Ca' 4- Da 1 4- etc. = d (A' -4- Ha 4- C'a ’ 4 - Da 1 -t- etc.)

qui doit avoir lieu (Chap. XX) pour toute valeur de a, et conséquemment aussi pour a = o, auquel cas A=.dA ; en sorte qu’après avoir supprimé d’un côté A , et l’autre dA\ et divisé par a qui n’a pas de commun diviseur avec d, on a

B-\- Ca 4- Da' 4- etc . — d(B 4- Ca 4- B a' 4- etc.)

d’où on conclut pareillement B=dtf. On a donc aussi C—dC t D=^dff, etc. : donc les coéfficiens A, B, C , etc.; sont séparément divisibles par d.

I er Exemple. Qu’il s’agisse d’assigner le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes

A = 36 h' a* — iSÆ’a’ — iqb'a k 4- gb'a'

le plus grand commun diviseur des coéfficiens numériques est 9, et comme on remarque aisément que A et B sont aussi divisibles par b'a' , on les divisera par gb'a 3 , ce qui donnera les quotiens

A =4 -1 sa' j3g 4-i

Jï ~Za ' — au — r’:

opérant maintenant sur A' et B , suivant la règle, on trouve le plus grand commun diviseur a — 1, qu’on aurait pu découvrir indépendamment de la 'division, et en partant du principe posé (27a), savoir, que lorsqu’un polynôme devient nul pour une certaine valeur attribuée à l’une des lettres qui y entrent, il est divisible parla lettre moins cette valeur : or, A' et B devenant nuis pour a= 1, on en conclut que les polynômes A" et B sont divisibles par a — 1; le plus grand commun diviseur est donc 9i’a\o — 1), et les deux quotiens sont

Qz=.\a % + a a — 1 Q=.Za -4- 1.

II e Exemple. Soient les polynômes

>—(()£ ’ — 1 8Æc)a s -t-(a ib 3 — 4 a £ ’ c)a ’ -h ( 36 £ 3 C — 1 8 b*) a B=(i5b' — 3obc)a‘ + (iHb’c — [}b 3 )a:

on trouve sur-le-champ 3 ab pour facteur commun faisant partie du plus grand commun diviseur : après la division, on a ces quotiens

A'=(3 b — 6c)o* 4 - (7 b' — i 4 £c)a-+-(ia£’c — 6b 3 )

B=($b — 10 c)a+ (6 bc — 3 b’);

Si A 1 et B doivent admettre un plus grand commun diviseur indépendant de a, comme il doit diviser tous les termes de A" et B , d’après ce qui vient d’être démontré, il devra diviser 3 b — 6c qui est le plus petit des coéfficiens : or, de 3 b — 6c = 0, on déduit b=2C, et comme, pour cette valeur de b, on a en même temps B=o, B~o , ces polynômes seront divisibles par b — a c, et on aura ces quotiens

A"=.Za % 4 - 'jba— 6b %

comme l'hypothèse 5 a — 3 £=0 donne a=j£,qui

n'anéantit pas A " , on en conclut qu’il n’existe plus d’autres facteurs du plus grand commun diviseur qui est 3 ab(b — ac).

III* Exemple. Soient les deux polynômes

A=(c — d)a' 4 -(aic — a bd)a + {b'c — b'd)

B={bc — bd+c' — cd)a + (b'd-\-bc' — b'c — bcd) :

on aperçoit sur-le-champ qu’entre les coéfficiens de A il ne peut exister de diviseur commun plus grand que c — d\ en sorte que, s’il y a lieu à un tel diviseur, tous les coéfficiens doivent devenir nuis pour c=d; ce qui arrive effectivement : en divisant A et B par c — </, ou aura

A' — a' + ïba + b'

polynômes qui n’admettent pas de facteur commun dépendant de a , ce dont on pourra s’assurer par la division. On a donc c — d pour plus grand commun diviseur.

IV* Exemple. Soient les deux polynômes

A=z(il\b'cd — a8 b'cd — \[\bcd-\-* 8 cd)a-\- (ai b'cd — ai cd) — (\l\b'cd — \l\bcd —

. 7 b cd+’]cd)a~ %

B=(iib'cd-^ 8 ^b’cd-{- io 5 bcd — fricd) -\-(/ïgb , cd — 98 bcd -t- 49C£?)a— * — (ai b'cd — 35 b'cd 4- ’]bcd+ f ]cd)a — a :

On pourra d’abord multiplier A et B par a’ , afin de faire disparaître les exposans négatifs de a, mais on aura soin de diviser le plus grand commun diviseur par a * ; on remarquera d’abord que 7 cd divise exactement A et B , en sorte qu’on aura les quotiens

A = {* b J — l\b — ib+l^a} + (35’ — 3)a’ —

(a£ 3 — b' ■ — aA -t - 1 )

B={Zb’ > — ia b'+ i5 b — 6 )o’- 4 -(j^’ — i^b + ^a — (3ù 3 — bb‘ -+• b-\- i).

Le plus petit des coéfficiens daus AetB', est 3 b’ — 3 qui devient nul par b—\ et par b — — i : or, la première valeur de b rendant nuis A et B , on en conclut que b — i est facteur commun aux polynômes A et Zf, et on trouve ces quotiens A'=(ib' — a b — 4)«’ -+-3(ù-t- i)a* — (a b' b — t)

B' = (3b’ — 9 £-+- 6 )a’ +7 (b — x )a — (3 b ' — a b — i) : Avec un peu d’attention, on découvre que b= — i anéantit A" seul, et que b—i anéantit B' seul', on peut donc supprime!' dans A" le facteur b -+- 1 non commun à B' , et dans B' le facteur b — r non commun à A', et, après ces réductions, on obtient A" — a {b — a)a 3 -f-3a* — (a b — i)

Il reste à découvrir le facteur commun dépendant de a : on aperçoit facilement à la seule inspection de ces polynômes, que la somme des coéfliciens de o 3 , a’, a° , dans A”' , ainsi que de a*, a, a° dans B", est nulle; d’où on conclut que, poùr a=r, on a A"— o, B"=o , et que a — i est un facteur commun à ces polynômes, et même le plus grand. On a donc ce plus grand commun diviseur 7 cJ(ù— -i)(a— -j) lcd ^ b t ) a , (£

V e Exemple. Soient les deux polynômes A — — 1 f\b ’ca ? — i aùca 4 — 7 b ’c'a' -V 1 l\bc'a B ■=.— b'a i b'' a' -H ab'a* H- h' a' — a b*a' : la recherche du plus grand commun diviseur entre ces deux polynômes, par la méthode connue, est

pm llüi. 1ILH A jJUIJ ' IHIIIHJ I

champ , le plus grand diviseur commun.

très -laborieuse, et c’est pour cette raison que nous avons choisi de préférence cet exemple que nous avons traité dans le tableau ci-joint avec tous les détails nécessaires; mais nous devons observer qu’il est facile d’abréger l’opération par des décompositions, qui font découvrir des facteurs communs aux deux polynômes, lesquels sont les élémens du plus grand commun diviseur. Ainsi, qu’on reprenne les polynômes A et B , déjà débarrassés du facteur commun ba* , et qui sont alors

A — — [[b'ca^+i^bca? — iaca* — 'jbc'a+il^c'

B’=— b*a? -4- A*a 5 -t-aAa’ -h Ba — •xb* ; on peut encore supprimer dans A le facteur c étranger à B et dans B le facteur b étranger à A , ce qui donne

A"— — 4^’ H- 1 — 1 * — ’]bca+ 1 4 c

B' = — b'cfi-\- ba?-\-îa*-\-b?a — aù*, et on découvre aisément cette décomposition de A' et B' , savoir

A" == — ia'(ib'a‘~’]ba ) — 1 aa* — 7 c{ba — a)

2T= — ba — a)-t-£* ( ab — a),

et leur réduction à téro par ab — a ; d’où ou conclut que A " et B" sont divisibles par ab — a : les ' polynômes quotiens sont

À" — — l\ba}-+-(ki ' — 7 c B = —a' {ab -f- 1 )-4- b * ,

quotiens premiers entr’eux. Le plus grand commun diviseur est donc ba’(ab — a).

On conçoit, en effet, qu’il importe de pousser ces décompositions aussi loin qu’il est possible , parce que si ou pouvait assigner tous les facteurs simples des deux polynômes , on aurait , sur-Ieèhamp , le plus grand diviseur commun.

3»o CHAPITRE XXIV.

Dans le second exemple du tableau ci-joint, tous les termes de chacun des deux polynômes, sont de même degré ( 48 ) ; ils ne renferment que dënx lettres , et de plus la somme des coéffieiens numériques est nulle dans les deux : donc l’hypothèse y—x les réduira, en même temps, à zéro, c’està-dire , qu’ils ont x — y pour commun diviseur.

VI e Exemple. Réduire à sa plus simple expression la fraction

6a 5 -t- 1 54a 4 — 4 c'a 1 — io 4c’a’

9 4a 3 — vjbca’ —übc 1 a+ itibc* ’

cette opération revient , comme on le sait , à chercher le plus grand commun diviseur entre ses deux termes : avec un peu d'habitude du calcul, on découvre que cette fraction revient à celle-ci

aa 3 (3a’ — ac’)-t -54a’(3a’ — ac’)

34a (3a’ — ac’) — 9 bc (3a’ — a c')

» (aa 3 -t-54a’)(3a’ — ac’)

34 (a — 3c)(3a’ — ac’) ’

qu'ainsi a — 3c n’étant pas facteur de 3a’ — ac* ni de aa 3 +54a* , le facteur 3a’ — ac’ est le plus grand commun diviseur des deux termes de la fraction, qui a conséquemment pour plus simple expression aa 3 -|-54a*

VII e Exemple. Eu examinant avec soin la composition des deux termes de la fraction d’a' — c'd’-r-c'a '- (- à l\da ’ — l\cda — ac ’ a + ac 3 ’

on découvrira le plus grand facteur commun a — « et cette plus simple expression ( d'-c-)(«+c) l\ad—ic'

at)x Nous aurons très souvent occasion parla suite d’employer cette méthode; mais nous observerons que les préceptes que nous venons de poser et les applications, que nous en avons faites, ne peuvent remplacer la pratique que nous recommandons particulièrement. Cette méthode sert encore , comme nous l’avons déjà fait voir (a3a), à trouver les conditions sous lesquelles deux polynômes admettraient un plus grand commun diviseur. Soient, par exemple, les polynômes x’-t-aax+a’+r’ — b 1 et x-+-a : en divisant le ■premier par le second, on. trouve le reste /* — b* qui s’oppose à l’existence du commun diviseur en question. Mais qu’on pose ce reste égal à zéro, et on aura jr = ±b; sous cette condition , x+a sera le plus grand commun diviseur : en effet , pour ces deux valeurs de y , le premier polynôme se réduit à x’+vax+a', carré de x+a. Nous rechercherons encore la condition d’où dépend, pour le polynôme x'-i-Px’ + Qx+R, l’existence d’un diviseur du second degré, tel qu ei’ + A+fi; P , Q, B, étant des nombres donnés par la question, A ci B des coéfficiens à déterminer, de manière que la condition énoncée soit satisfaite. En divisant le premier polynôme par le second , on arrive à un reste du premier degré ( A ’ — PA+Q — B)x+BA — . * BP+R , qui s’oppose à ce que la division puisse se faire; elle ne peut donc avoir lieu que sous l’égalité à zéro de ce reste : or, x n’étant pas zéro, on doit avoir ces deux équations séparées

A'*-PA+Q—B = o , (A—P)B+R = o :

la seconde donne

38 a CHAPITRE XXIV.

substituant cette valeur pour 5 dans la première ,

et faisant disparaître le dénominateur, on trouve

A z — *PA'+[Q+P')A+R— QP = o (a):

les équations (i) et (a) servent» évaluer A et B en 5, Q et fi.

Pour P = i , (?= — t, 5 = — t * hypothèses sous lesquelles le premier polynôme devient x*-4-x’ — x — r, les équations de condition (i) et (a) deviennent

B— — î — , A'—xA'-o-.

la seconde qui revient à A'(A — a )=o, donne A i * o , A ■ - o , A a , valeurs auxquelles répondent

B= — 1,5 = — r,5=i; en sorte que le polynôme x’-t-x* — x — i est divisible par chacun des facteurs du second degré x' — i, x' — i , x’-+~ax-t-i : conséquemment deux des trois racines de l'équation

sont données (Chap. XXII) par l’une ou l’autre des équations

x* — i — o, x’-t-ax-t-i =o ,

. qui fournissent ensemble les trois racines x=i , x= — r, x=— i de l’équation ci-dessus du troisième degré.

Si Von avait à résoudre la même question sur les polynômes

x 1 +Px î -+-Çx’-H5x-t-5 et a?-\-Ax'-\-Bx-\-C ,

c’est-à-dire, à déterminer les coéfficiens A , 5, C, d’après la condition que le polynôme du troisième degré devînt diviseur exact du polynôme donné du

ÉLÉMENS D’ALGÈBItE. 383

quatrième, en divisant celui-ci par le premier, on serait conduit à un reste du second degré en x , lequel devant être égal à zéro, indépendamment de x, fournirait trois équations qui serviraient à évaluer J, B, C, en P, Q , R, S.

Nous reviendrons sur ces questions dans la seconde section de ce traité : en les traitant ici par anticipation , nous n’avons eu en vue que de faire connaître un des emplois de la méthode exposée dans ce chapitre , et particuliérement de préparer à celle qui fera la matière du chapitre suivant, l’un des plus importans de cet ouvrage.

De l'élimination entre deux équations de degrés