QUELCONQUES , A DEUX INCONNUES ; ET DU DEGRÉ DE

l’équation finale.

293. Lorsqu’on a deux équations dupremier degré entre deux inconnues , l’élimination de l’une des inconnues est toujours facile , et l’équation finale , c’est-à dire , celle qui donne l’autre inconnue , est aussi du premier degré (Chap. XVII). Mais il n'en est plus ainsi lorsque les deux équations sont de degrés supérieurs au premier. Il faut entendre par le degré d’une équation à plusieurs inconnues la plus forte somme des exposans des inconnues dans un même terme.

294. Soient entre les inconnues x et y deux équations complètes, l’une du degré m, l’autre du degré

n : ces deux équations ordonnées suivant Tune des ' deux inconnues, suivant x , par exemple, et alors y entrera dans les coéfficieus, seront delà forme

x m +Px m - l +Qx m — i -\-Bx m ~ i +

+ Tx+F=o (Zt-1) (*)

x n +Px n ~ l -\- Q f x n —*+Rx n —*+

+rxfr=o (xi»))»

où, suivant la définition, P , (?, R,.... Te t V, peuvent être des polynômes complets des premier,

second, troisième, ( m — i )«"•*, m ime degrés en

/, et P y Q , R y T , V y des semblables polynômes des premier, second (n — i ')«"•*, n ime de-

grés : les coéfficiens des puissances de y dans ces polynômes sont des nombres donnés (**).

ag5. Résoudre les équations et (ATM), c’est

assigner tous les couples ou systèmes de valeurs numériques de œ et y, propres à les réduire , en même temps, à la forme o = o. Ces valeurs correspondantes de x et y sont nommées solutions.

Soient (3 une valeur de y et a une valeur de x , qui substituées simultanément dans les proposées, les réduisent à la forme o — o : il est évident qu’il

(*) Nous désignons ces équations par (A'»"’)) et (XM) pour rappeler qu’elles sont des degrés m et n , et leurs premiers membres par et XM.

(“) Après les multiplications faites de x m 1 , x m a x

par les polynômes coéfficiens dans l’cquation complète du degré m , le deuxième terme en donnera deux , le troisième terme en donnera trois, et ainsi de suite, en sorte que le nombre total des termes, sera le terme somma toire de la suite des nombres naturel» i , a , 3. . . .m-t-i , c’est-à-dire (aoi) ,

’ ÉLÉMENS D’ALGEBRE. 385

revient au même d’écrire d’abord (î pour y, ce qui donne deux équations en x , puis d’écrire dans celle-ci a pour x : or, les polynômes A3 m ) et A3") devant, après la substitution de p pour y, devenir nuis, en même temps, par x — a , ne peuvent être, généralement parlant, que de la forme

JH") = Q{Ax—B) , JK-) = Q(Ax—B ) ,

Q et Q étant des polynômes en X , et A et B des nombres. Ainsi la solutiony:= p introduit dansA3 m ) et X(") un facteur commun Ax — B , dont l’égalité à

zéro fournit la valeur x~ -^ = a correspondante

à : telle est donc la propriété caractéristique de toute solution en y, de sorte que tout nombre y, qui n’en jouit pas , doit être rejeté.

Si donc, après la substitution de fi pour y dans XI") et JP"), on appliquait à ces polynômes la méthode du plus grand commun diviseur , on serait conduit à Ax — B : mais, si on opérait sur ces mêmes polynômes sans faire cette substitution , on arriverait à un polynôme en x et y, généralement dit premier degré en x , auquel répondrait un reste y, fonction de y, qui s’oppose à l’existence d’un plus grand commun diviseur entre JP m > et A3"), en observant qu'un polynôme en x et y, ne peut se diviser par un polynôme en y. Donc toute valeur y={3, qui fait acquérir aux polynômes A3 m ) et A3") un commun diviseur en x, jouit de la propriété d’anéantir ce reste Y, et conséquemment elle est racine de l’équation Y—o ; réciproquement toute racine de Y=o jouit de la propriété de faire acquérir aux deux polynômes X( n ) et A3") un plus grand commun diviseur en x.

On est donc conduit à cette règle : il faut opérer sur les deux polynômes XW et XI") comme pour en chercher le plus grand commun diviseur ; égaler à zéro le dernier polynôme diviseur en x et y, auquel répond un reste Y en y , polynôme qui est généralement du premier degré en x ; égaler aussi à zéro ce reste Y; déduire de Y = o les racines y =p,=t=p', = |T, etc., les reporter successivement pour y dans t équation formée, du diviseur en x égalé à zéro , et en tirer les valeurs correspondantes x == a , = a' , = a" , etc.

Afin qu’il ne reste aucun doute sur la règle précédente qu’il importe de bien saisir, on pourra en concevoir la démonstration de la manière suivante

En désignant toujours par AH et Al»! les deux

polynômes proposes, par A(»— 0, AT"—*), AC»— 3 ),

Al 1 ) et Al°) les restes successifs qui deviennent diviseurs les uns des autres , dont les degrés en x sont

ici rappel lés par (n — t) , (n — a) (i) et (o) ,

diviseurs dont l’avant dernier A(‘) est du premier degré en x et le dernier Al 0 ) d’un degré nul en x, est un polymone en ^seulement: on aura les égalités suivantes.

A») = <>A(*)-+-Al"-0, At")= ÇAI"— 0 A("— *) , AC—') = </Al"~*) -+- AT"— 3 )

A’ = <?(— OAIO-t-Al»),

où Q, Q . . ,Ç( n — 0, sont les quotiens, fonctions de x et y. Cela posé, les solutions de A» =o et AW=o, anéantiront AT"— 0, d’après la première égalité, et conséquemment elles deviendront solutions de Al")=o et A(n— q— 0; réciproquement les solutions de A("J —o et AT"—') — o le seront de A(")=o et AT m ) — o. En appliquant le même raisonnement à la seconde équation , on prouvera que les solutions de Al”) = o et

X ("— *)==o conviennent à X("— l ) = o et X »— ») = o et réciproquement. En allant ainsi de proche en proche, il sera démontré que toutes les solutions de X\ m )=o et XI") = 0 se transmettent k X(‘) = o et AW = o, et réciproquement que toutes les solutions de A3*) = 0 et Xl°) = o , le deviennent de X( m ) — o et XI") = o. Ainsi la résolution de A10 ou de Ax — B=o et X(°) ou de Y—o, fera Connaître toutes les solutions des proposées qui ne peuvent en admettre d’autres.

Toutes les conséquences que nous venons de tirer, pourraient être infirmées, si, dans l’une des égalités ci-dessus, le quotient <?, ou Çf, etc., était une fraction ayant pour dénominateur une fonction en y. Soit, par exemple,

AW=JK«0xjï +*(»- 0,

K renfermant y ex. H les deux inconnues : si la valeur de y faisant partie d’un des systèmes de solutions de X'\ m — 0 et AM=o, rendait K nul, le

produit XM x deviendrait ^ , et pourrait avoir

une valeur nulle, finie, ou infinie (Chap. XXI), en observant qu'un couple de solutions, ne fait

qu’une hypothèse : or, pour fini ou infini, on

ne peut plus conclure A>— l )=o, puisque Xi"—*) Serait aussi fini ou infini. Ce cas d’un quotient fractionnaire à dénominateur en y, aura lieu toutes les fois que les plus hautes puissances de x, dans les deux polynômes consécutifs, auront des coéfficiens eu non divisibles l’un par l’autre : on éludera ces quotiens en multipliant le polynôme dividende par le coéfificient en y de la plus haute puissance de x an diviseur,

sauf les restrictions que nous indiquerons bientôt,

388 CHAPITRE XXY.

De ce que les solutions de A( m ) = o et AW = o, sont les mêmes et en même nombre que celles de AI n ) — o et AI*— 0 = o, que celles de AI«- 0 = o et AI"— 0 = o, et, en dernier lieu, que celles de AIO =o et A(°)=F=o; il s’ensuit qu’une même équation finale et un même diviseur commun peuvent convenir à plusieurs systèmes d'équations entre deux inconnues, de degrés différens : c’est ce que Monge exprime en ces termes^ : « Lorsqu’une propriété est « exprimée par une équation unique , cette équation a est nécessaire et ne peut être suppléée par aucune a autre équation unique de même genre; mais lors- « qu’elle est exprimée par le système de plusieurs « équations , ce système peut toujours être rem- « placé par une infinité d’autres absolument équia valens ». En effet , qu’on se propose , par exemple , de former deux équations ayant x — y pour diviseur commun du premier degré, et y * — i pour équation finale : au produit de x — y par un facteur quelconque fonction de x, ou fonction de x et y que je suppose du premier degré en x, on ajoutera y — i , et on aura un polynôme du second degré en x : au produit de ce dernier polynôme par une fonction en x ou en ar et y, toujours du premier degré en x , on ajoutera le polynôme du second degré qu’on vient de former, et on aura un polynôme du troisième degré et ainsi de suite. Deux quelconques de ces polynômes consécutifs seront de degrés différens, et, sous les mêmes degrés, on pourra varier, à volonté, leur composition : mais d'ailleurs deux quelconques de ces polynômes successifs, égalés à zéro, admettent les mêmes solutions et en même nombre, puisqu’ils conduisent au même diviseur du premier degré en x et à la même équation finale. Nous revieudrons encore sur ce point.

ÉLÈMENS D’ALGÈBRE. 3 89

29G. En général , les divers procédés d’élimination qu’on peut employer pour résoudre des équations déterminées , quels qu’en soient les degrés, ont tous pour but de substituer au système des proposées , un autre système parfaitement équivalent , mais plus simple , et en dernier lieu , un système d’équations dont l’une ne renfermant plus que l’une des inconnues , puisse être résolue exactement , ou , au moius , par approximation , d’après l’une des méthodes exposées dans les chapitres qui suivent (*)