Nous examinerons d’abord les principales
(*) D’après la composition des coéfficiens d’une équation en racines de cette équation, démontrée ( Chap. XXII), et de laquelle il résulte que la valeur de chacune des racines, varie en même temps que celles des coéfliciens , on conçoit qu’une légère altération dans l’un ou dans plusieurs des coéfliciens , peut changer jusqu’à la nature des racines , en sorte qu’il est permis d’élcver quelque doute sur la légitimité de la résolution de deux équations à deux inconnues , dans le cas où les racines de l'équation finale en y , sont toutes , ou même en partie , incommensurables, puisqu’alors on ne peut substituer que des approximations pour y dans les proposées , substitutions qui , en altérant les coéfficiens de x , dénaturent ou peuvent dénaturer les solutions en x. On conçoit même que la substitution d’une valeur ap-
fi
prochée de y , dans la formule x = - tirée de Ax — B = o ,
peut donner pour .r une valeur très - éloignée de la véritable. Si l’on observe d’ailleurs que l’élimination, de quelque manière qu’on y procède, est une opération à -peu -près impraticable dès que les équations sont nombreuses et élevées, ou reconnaîtra que ce serait une recherche digne de fixer l’attention des géomètres , que celle de déterminer , sans résoudre aucune équation , i° les limites extrêmes des valeurs de chacune des inconnues ; a° une limite au-dessous de laquelle ne put tomber la différence entre deux valeurs de chacune de ces memes inconnues.
' circonstances que peut présenter l’application de la méthode à la recherche des solutions des deux proposées.
Supposons d’abord que le plus grand commun diviseur , sous la réserve de l’équation finale, soit du premier degré en x, et conséquemment de la forme Ax — B : la valeur de x qui résulte de la substitution d’une des racines de l’équation finale dans Ax — B = o, peut être finie , nulle, infinie ,
ou de la forme -• Dans le premier cas, si x=a. répond
à par Ax — B—o , cette valeur x—a. est la seule qui fasse solution avec ^=( 3 , puisqu’elle est donnée par une équation du premier degré : il en est de même dans le cas de x—o. Si pour y=$ t on trouve x= oo , il faut conclure qu’à cette valeur de y , il ne répond aucune valeur de x , pas même x = gc que donne l’équation Ax — B = o car il est visible que les deux proposées ne peuvent être satisfaites pary =[3 et x — aa, puisque leurs premiers membres deviendraient infinis. Si l’on trouve, dans le cas actuel , x—<x, c’est parce que l’on pose une équation absurde, en écrivant Ax — B — o , puisque A étant nul , cette équation se réduit à B — o , B étant un nombre. Si toutes les racines de l’équation > finale rendaient A nul , il faudrait en conclure que
les proposées sont en contradiction, puisqu’il n’existerait aucun système de valeurs de x et y propres à les réduire à la forme o = o. Mais si toutes les racines de l’équation finale ne produisent pas cet effet , les proposées ne sont plus en opposition. Nous verrons plus loin qu’il y a encore absurdité dans la question, ou incompatibilité dans les équations qu’elle fournit , lorsque l’équation finale est
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 3 g i
un nombre. Il peut donc arriver que quelques-unes des racines de l’équation finale, ne donnent pas de solutions, lors même qu’on n’a introduit dans cette équation aucun facteur étranger , circonstance qui a souvent lieu , comme on le verra bientôt. Enfin si la valeur y=fi donne en même temps, A=o ,
B = o, le reste Ax — B devenant nul par l’hypothèse y=$, quel que soit x, il en résulte que, pour cette valeur de y, les deux proposées acquièrent un diviseur en x d’un degré supérieur au premier, puisque celui-ci s’anéantit : ce sera donc le reste précédent , ou , en général , celui des restes antérieurs que la même valeur de y n’anéantit pas , qui deviendra diviseur commun, et, dans ce cas, il y aura plusieurs valeurs de x qui répondront à cette racine y=p. La valeur de x n’est donc pas indéterminée ; mais l’indétermination existe dans l’équation Ax — B=o , parce que celle-ci étant insuffisante pour donner les deux, trois, etc., valeurs de x qui vont avecjr=p, ne doit pas donner l’une plutôt que l’autre , et cette insuffisance est annoncée par
x = Ce résultat ^ , dit Lagrange, dans le calcul des
fonctions , a lieu dans les formules , lorsqu'il y a des cas quelles ne peuvent représenter : c'est , pour ainsi dire, le moyen que T analyse emploie pour échapper aux contradictions. Les racines imaginaires n'impliquent pas , à proprement parler , une contradiction , mais une impossibilité.
398. Revenons sur le cas ou à une racine y de l'équation finale F= o , doivent répondre plusieurs valeurs de x : les diviseurs en x, depuis celui du premier degré inclusivement , jusqu’à celui pris exclusivement, dont le degré est égal à ce nombre de
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$g% CHAPITRE XXV.
•valeurs de x , seront nuis d’eux-mêmes par le fait de la substitution (3 pour y, puisqu’autrement les deux proposées auraient pour facteur commun un polynôme en x , qui égalé à zéro , donnerait plus ou moins de valeurs de x qu’il ne doit en répo.udre à la solution y— f3. Il est essentiel d’observer que les coéfficiens des diviseurs qui deviennent nuis pour y=f3 , ont tous pour facteur^ — (3. S'ils deviennent nuis par plusieurs valeurs (3, {3', fi", etc. de y , ces mêmes coéfficiens auront pour facteur (y — p )(jr — $)(j — p"), etc. Si l’on savait, à priori, qu'à toutes les racines de l’équation finale, doivent répondre des valeurs multiples de x, on en pourrait conclure que le plus grand commun diviseur des polynômes Xl m ) et AW, doit être d’un degré supérieur au premier, du troisième degré, par exemple , si , pour chaque racine y , on doit avoir une valeur triple de x. On rencontre ce cas dans le système suivant
x , -+-ajx 3 -H(ay , -+-i)x , +(y 3 -hqy , -t-y- — %j)x+f — o x 3 4-ayx , -+-2y J aM- i y 3 4-9y J — 8i — o,
qui donne x’+yx+y’ pour diviseur commun , puisque le reste correspondant est qy’ — 8i , en sorte qu’à chaque valeur y=±3 déduites de l’équation finale
ar’— 8i —O,
répondent deux valeurs de x. On ne rencontre pas ici de diviseur du premier degré.
Le système d’équations
(y‘—5y+6)x s +(iy 3 —i iy >+ 1 ’jy— 6)x' y 3 + i Sy " — aay+ 1 a)x — (y* — fiy’-Hiay — i iy-t-6)— o...(r) (y 1 — 5y-b6)x , +(y > — 6y* -+- 1 1 y — 6)x —
(y 3 — 1 6y* -4 - 1 iy—6)=o (a)
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 3g3
conduit à un diviseur du premier degré, qui égalé à zéro , donne
(/’ — 5yy-6)x—(y' — 5/4-6) =o (3)
d’où l’on déduit x —
fraction qui de-
viendrait ? , si /’ — 5/4-6 devait être facteur de l’équation finale, auquel cas on aurait,/’ — 5/46=0 : mais sous cette seule hypothèse, les deux proposées sont satisfaites , parce que /’ — 5 /4-6 est un facteur commun à tous leurs termes ; en sorte qu’ici on n’a que des solutions en / données par y — 5/46=0. Nous reviendrons plus loin sur cette circonstance qu’il était bon de remarquer.
Généralement , on n’obtient de valeurs multiples de x, que pour quelques-unes seulement des racines de l'équation finale : alors on est conduit à un diviseur du premier degré eu x , puisque lui seul peut faire connaître les valeurs non multiples de x , à moins cependant que les proposées n’admettent, par exemple, un diviseur du second degré tel que Yx' + Y’x+Y", Y répétant un des facteurs de l’équation finale, et Y\ Y" étant des polynômes en y qui ne deviennent nuis par aucune des solutions en y : car alors pour celles des racines y qui rendent Y—o, le diviseur précédent égalé à zéro, savoir Yx'-yY'x-+-Y"=o, se réduisant à Y'x+Y"=o , donnerait les valeurs non multiples de x, tandis que , pour le surplus des solutions en y, il fournirait des valeurs doubles. A l’exception de ce cas , et en supposant que fï , soient des racines de l’équation finale, qui donnent x = ~ , les autres racines
3g4 CHAPITRE XXV.
ne produisant pas cet effet, nécessairement les coéfficiens y/ et B du diviseur Ax — B, auront pour facteur (y — £)(/• — p'); conséquemment, si avant de procéder à la division du diviseur du second degré A'x'+Bx+C , par celui du premier Ax — B , on supprime dans A et B, ce facteur que nous supposons n’ètre pas commun aux coéfficiens A , B et C , suppression qui facilite la division, l'équation finale pourra perdre les racines fl et p', et seulement celles-là , en sorte qu’elle ne contiendra plus que celles des racines y qui donnent des valeurs non multiples de x. Ayant donc découvert et supprimé ce facteur (y — p)(jr — £') , il faudra le mettre à part, et le résoudre ; que si pour ses racines y=$, y={l' f les deux proposées deviennent exactement divisibles par Ax'-\-Bx+C , on en conclura que les valeurs correspondantes de x , sont données par
A’x'-{-Bx-\-C — o:
dans le cas contraire , on sera assuré que ces valeurs de y ne peuvent faire partie des solutions ; d’où on conclura encore que soit qu’on supprime ou quon laisse le facteur (>— P)(r— P') dans le diviseur Ax—B , il ne repassera pas en facteur de l'équation finale- Il faut observer que lorsque le facteur en question donne des solutions, la suppression dans le diviseur du premier degré , l’empêchera de s’introduire dans l’équation finale qui étant d’un degré moins élevé, n’en est que plus facile à résoudre. Il y aurait pareillement lieu à la suppression d’un facteur commun en y dans les coéfficiens de Ax'+Bx-\-C , dans le cas où à quelques racines de l’équation finale, devraient répondre plus de deux valeurs de x: alors il faudra tenir compte des racines y , données par le facteur supprimé et égalé à zéro; et si, pour
ËLÉMENS D’ALGÈBRE. 3y5
chacune d’elles , le polynôme du troisième degré devient diviseur exact des denx proposées , on conclura qu’elles sont autant de solutions en y : et comme l’équation finale est nécessairement dépouillée de ces racines, il arrive que son degré est abaissé. Enfin si l'une des racines de l’équation finale qui anéantit, par exemple, les diviseurs des premier et second degrés , réduit celui du troisième à un nombre, parce que les coéfficiens de æ 3 , a:’ et x deviennent nuis, on doit prononcer que cette racine n’est pas une solution.
Les exemples suivans éclairciront ces généralités.
- Soit d’abord le système d’équations
ax’ ~h@y — *jr')x — 3 y'=o x' -+- (3 — ay)x — 6y = o:
en divisant la première par la seconde, on est conduit au diviseur du premier degré (yy — %y ' — G)x -f-(iay — 3/ 1 ), dont les coéfficiens en y ont pour facteur commun y — 1 : en supprimant ce facteur, le diviseur précédent, égalé à zéro, devient
(3 — ay)x-r—3(y‘ + ay) = o, et on trouve l’équation finale (*)
laquelle fournit lesracines i 7 r =o, > ^=o,y^=:-f- \/ — 3, y~ — ✓ — 3 , auxquelles répondent x=o,x= — 3.
(*) Dan» la division de x*-H(3 — a/)x— 6/ par (3 — %jr)x~ 30 r ’-t- 3.y), on introduira en facteur du dividende le coefficient 3 — a/ : on aura la même attention , avant de faire ladivmon du reste par le même diviseur du premier degré. Nous examinerons plus loin ce qui peut résulter de l’introduction de ces facteurs étrangers.
Reprenons le facteur supprimé y— 2 ; en l’égalant à zéro, on a ^=3 a, valeur qui, reportée dans les proposées, les changent dans celles-ci
2(3:’ — x — 12)3=0, x * — x — ia = o,
qui s’accordent et qui donnent x = 4 > * = — 3 , solutions dont chacune doit être prise avec y=. a. Si on n’eût pas supprimé le facteur y — a, on aurait eu l’équation finale
Cr— *)(/■-+- 3 )T= o,
où se reproduit la racine y — a , ce qui devait arriver.
Soient, en second lieu, les équations
/x 1 — 6 x* — yx 4- 6 =0 (1)
2X S — 3 yx’ — a y'x 4- 3 y 1 —o (a)
dont la première est du quatrième degré et la seconde du troisième : on trouve pour le reste de la division du premier polynôme par le second,
en continuant l’opération d’après les règles indiquées, c’est-à-dire, divisant (a) par ( 3 ), et ainsi de suite, 011 est conduit à ces restes
(36/* — 3 4/* — 1 8oj*-f- a 88)o- — y*y — 96^4- 588/* — 480/-. . .(5);
En cherchant, s’il existe un facteur commun en .J dans ( 5 ), on découvre a (y 4 - j) (y — 1), qui n’est pas commun à ( 4 ); après la suppression de ce facteur, on obtient pour diviseur du premier degré en x,
0 3 'y* — 4 — 144 )* — 6 f — Slxj* 4- 24 oy . . (fi);
achevant l’opération, on parvient à l’équation finale
— * -t-3üa47-‘”4any* — 88128/ ‘-1-459648/* — 746496*-*
laquelle, divisée par 27, devient
ÿy ‘ ’ — 1 12/“ * + 1 56/*+ 3264/* — 17024/* +27648/* — 9216=0.. (7)
Cette équation donne les racines
y=±l,y=± j,7 = ± 1^6, y=± t/— 6, dont chacune des deux premières ± 2 se répète trois fois. La substitution de ces valeurs de y dans (6), donne ces solutions correspondantes en x, ar = ± 3 , x — ± i , x=± 1/6, x = + 1/ — 6.
On trouve de plus, en égalant à zéro, le facteur commun supprimé dans ( 5 j, ces deux racines T=+ 1,7— — 1,
auxquelles répondent les suivantes pour x, d’après le diviseur (4) égalé à zéro,
x= ± 1 , x — ± r , couples qui satisfont aux proposées.
Soit, en troisième lieu, le système d’équations /x 5 + Zyx' —y'x' + (y+ i)x — y—o yx* -H ( 3 / — r)x’ — y'x + y — 1 = 0,
la première du sixième degré et la seconde du cinquième : on trouvera ces diviseurs successifs des troisième et second degrés
lorsqu’avant de procéder à la division de ( 3 ) par ( 4 ), on supprime dans (4) le facteur^ — i, on trouve le diviseur du premier degré en x, lequel égal à zéro, donne
et l’équation finale
d’où on tire ces couples de valeurs
j— -h 1/ — i eta! = + v / — i ;
.J— — v ' — i et x = — \/ — i.
Reprenons nlaintenant le facteur commun supprimé y — qui, égalé à zéro, donne 7=1 : cette valeur, portée dans (3j, donne
diviseur exact des deux proposées, après la substitution 7=1 : ce diviseur, égalé à zéro, fournit trois valeurs de x , qui font autant de couples avec y — i si on n’a pas découvert et supprimé ce facteur y — i , on est conduit à ces deux équations
(jr—i)x—jr(jr—i)=°
(/— OO" + 0 = o :
la racine 7 = 1 de la dernière, reportée dans les diviseurs des premier et second degrés, les réduit à zéro, ou, ce qui en est la conséquence, donne o
Soit , en quatrième lieu , le système
yx i +(2jr-t- i)x 3 — yx * — jr*x — (7+ i)=o (0 :
on trouve ces diviseurs
faisant la division, en supprimant le facteur 7+ 1, on parvient enfin à
fx — 1=0,7* — 1 = 0:
il est évident que la racine 7= — 1 d e l’équation finale, ne peut être la même que celle qui serait fournie par l'égalité à zéro du facteur 7 4- 1 , sup-
primé dans le diviseur du premier degré. L’équation finale revient à celle-ci.
et toutes les racines qu’elle fournit donnent des valeurs non multiples de x. Au contraire, la racine y = — 1, provenant de jr-\- 1 =0, change celui du quatrième en x*+x' — x — 1 , qui divise exactement les deux proposées sous la même hypothèse. On conclut de là que si on eût conservé dans (4), le facteur y 4 - t , il aurait passé dans les diviseurs des second et premier degré, et dans l’équation finale qui aurait pris la racine double y = — 1.
Soit enfin le système d’équations
j '( j — 0 *’ +7(7— 1>' + Lr’Cr + 0 +
jrijr— 0 ]®+ 7 — 1 =°
on trouve ce diviseur du premier degré y(y — i)x + y — i qui, par la suppression du facteur^ — i, se réduit à yx -+- 1 ; dans les deux cas, on obtient la même équation finale
d’où l’on tire ces racines y—o, y— — i, lesquelles, substituées dans
yx 4 -l=o (a),
donnent la première x = — et la secondes = i.
Examinons le coupledesolutionsj r =o,a: = — ^ : la
substitution y—o dans yi-H=o, donne i ==o , résultat absurde (397): la même substitution faite dans les proposées, les réduit à — 1 = 0, — x = o.
Par suite des équations (i) et (a), les proposées sont satisfaites. Le facteur supprimé, égalé à zéro, donne j=i, valeur qui réduit les équations données à
résultats contradictoires et desquels on doit conclure, i° que la valeur jr=i doit être rejetée; a° que toute
valeur de jr , qui donne x = ^, ne fait pas nécessairement partie des solutions en f, et il arrive alors que soit qu’on laisse, soit qu’on supprime le facteur correspondant en y , il ne repasse pas dans l’équation finale.
agg. Il n’arrive que bien rarement, ainsi que nous l’avons déjà observé ( ag4 ) , et qu’on l'a remarqué dans les exemples précédens , que les divisions successives donnent des quotiens sans dénominateur en y, et cependant il importe de les obtenir tels : à cet effet, il suffira toujours d’introduire un facteur dans le dividende, ou quelquefois d’en supprimer un commun à tous les termes du diviseur; il peut même arriver qu’il y ait, en même temps, lieu à introduire et à supprimer un facteur , toujours fonction de y. Dans la recherche du plus grand commun diviseur, en tant qu’il existe sans aucune condition , ces opérations n’altèrent pas le résultat cherché; mais il n’en est plus ainsi dans celle qu’on fait ici : il s’agit donc d’examiner l’influence sur le dernier diviseur et sur l’équation finale de ces facteurs supprimés ou introduits.
Désignons, pour plus de simplicité, les polynômes qui forment les premiers membres des proposées, et les restes, ou diviseurs consécutifs, par X, X, X ", X "' , etc, : et supposons d’abord qu’il existe un
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 4 oi
♦acteur en y, commun à tous les termes de X , sans l’ètre aux termes de X , facteur que nous représenterons par Y s , pour rappeler qu’il est supprimé : les proposées seront de la forme
et il est clair que leurs solutions se composeront, i° de celles de X=oetX\=o-, a°de celles de X=o et Y, = o; donc on pourra, en effet, supprimer le facteur Y,, pourvu qu’aux solutions de X=o et X t = o les seules données par le calcul, on joigne celles de X=o et Y, = o. Pour obtenir ces dernières, on posera Y,=o , qui donnera ^=7, ==7', ==7', etc., valeurs qu’on reportera successivement dans X—o t qui donnera les valeurs correspondantes de x\ il est cependant essentiel d’observer que celles de ces racines^, qui anéantiraient les coéfûciens des termes en-j dans A r =o, doivent être rejetées, puisqu’elles donneraient cette conclusion absurde qu’un nombre doit être nul.
Supposons , en second lieu , que le facteur en y, toujours premier avec le premier terme du dividende, ne soit pas commun à tous les termes du diviseur: pour avoir un quotient entier, il faudra multiplier le dividende par ce facteur que nous noierons par Yi pour rappeler qu’il est introduit; mais alors aux équations X=o, X = o , on substitue celles-ci Yi x x ,=o , X —o ,
lesquelles sont satisfaites, non-seulement par les solutions de x, = o et X=o, mais encore par celles de Yi = o et X = o : d’où il résulte que les équa tions formées du dernier diviseur et du reste en y, égales à zéro, doivent donner de trop les solutions du système Yi—o et X'=o, lesquelles sont étrangères aux proposées X=o et X—o.
/, O a CHAPITRE XXV.
Enfin il peut arriver, en même temps, que le coefficient en y du premier terme du diviseur, soit décomposable en deux facteurs, l’un commun à tous les termes de ce diviseur, et l’autre premier avec le coéfficient analogue du dividende : soient toujours Y, le facteur de la première espèce, et Yi celui de la seconde : en supprimant Y,, on supprime ou on peut supprimer des solutions, et il faut les restituer; en introduisant Yi, on ajoute ou on peut ajouter des solutions, et il faut les supprimer. Nous verrons bientôt comment on peut empêcher que ces dernières ne s’introduisent.
Généralement, soient Y,, Yi , Y,". les facteurs en y, supprimés dans les polynômes V, V, V"..., par lesquels on divise U, If ,V" ... , et soient Yi, Yi, Yi"...., les multiplicateurs en ^introduits dans U, U', U", en tant qu’ils sont facteurs du premier terme de chacun des diviseurs V , V ’, V" . . i! faudra, aux solutions données par le dernier diviseur égalé à zéro, et par l’équation finale , ajouter celles qui sont fournies par >•*
U— o et Y,— o, U et Y,' —o,U"~o et Y," — o etc.
après s’être assuré qu’elles satisfont aux proposées , et parmi ces solutions, supprimer celles de
r=o et E, = 0, r=20e t *7=0; r"=o et Yi"=o, etc. après avoir reconnu qu’elles sont de trop. •
3 oo. Lorsque les premiers membres des proposées sont décoroposables en facteurs tels que F, F, F', etc. , pour l’une , f , f , f” , etc. , pour l’autre , facteurs fonctions de ce et y, on aura à résoudre le système des équations
i’xfxf'X etc. =0, /x/'x/"etc. = o:
ÊLÉMENS D'ALCÈBRE. 4o3
à cet effet, il suffira de résoudre ces combinaisons deux à deux
F =.o,f=o\, [F = o,f=o], [F =o v /"=o], etc.
F — o, f—o , F =o,f=o , F = o,/"=o ,etc.
F'=o,f=o , [F'=o,f?=o\, [F'=o,/"=oj,etc.
etc. etc. etc.
Soient, par exemple, deux équations, l’une du degré m, l'autre du degré n, ainsi résolues dans tous leurs facteurs du premier degré
[x—{p , 4- ? , /)] F X (j) , + . -[J C—(p n +q m jr)]=o
[x— ( r + .s , jr) ] [x— -(r, -t- J ,j) ] . . .[x — ( r„+s*jr)]=o, ‘
où P. 1 q. ■< P., q, sont des
nombres : on obtiendra toutes les solutions qu’elles comportent , en combinant chacun des m facteurs du premier produit, égalé à zéro, avec chacun des n facteurs du second produit , pareillement égalé à zéro : ce qui donnera , en totalité , mn équations du premier degré en x et jr, et conséquemment pareil nombre de solutions : d’où l’on conclura que le cjegré de l’équation finale résultante de deux équations ainsi formées, ne peut excéder le produit mn des degrés des proposées, proposition qué nous démontrerons dans ce chapitre, et que nous étendrons dans la seconde section de ce traité, à un nombre quelconque d’équations de degrés quelconques entre pareil nombre d’inconnues.
3oi. Il peut arriver i° qu’à toutes les racines y de l'équation finale, réponde la même valeur de x; •x° qu’à plusieurs de ces racines, réponde une même valeur de x, et que, pour les autres, on obtienne des solutions en x , toutes différentes; 3° que pour plusieurs des racines y, on ait une même valeur de x, et qu’à plusieurs autres des mêmes solutions
ofi.
4o4 ' CHAPITRE XXV.
en y, réponde une même autre valeur de x. Nous supposons toujours les deux polynômes ordonnés suivant x.
Le premier cas a visiblement lieu, lorsque le diviseur du premier degré en X , est indépendant de y, ou lorsque les coéfficiens A et B sont les mêmes fonctions en y, à un facteur numérique près,
parce qu’alors x = ^ est un nombre.
Le second cas est donné par un diviseur en x , de la forme x — n-t-<py, n étant un nombre, et par une équation finale telle que <fyy.Jy = o , <p et f étant des signes de fonctions : car pour les racines y de <fjr=o, on a constamment x = n donnée par x — n-f-(p^=o, tandis que pour celles de fy=o , on obtient des valeurs inégales de x.
On aura le troisième cas , si l’équation finale en y, étant fyy, <?y= o , le diviseur enx est, par exemple, réductible à la forme (x — n — fy) (x—ri — <j>y). En effet , pour toutes les racines de Jy= o, on a ces solutions x—n, x = ri+(yy); et, pour celles de ç y=o, on aa :=ri , x=n + (fy), en notant par ( <?y ) et {/y) ce que deviennent <?y, en remplaçant ^parles racines d efy=o, et fy parles racines de <py=o.
3oa. Le système d’équations
offre une particularité qui n’a pas encore été examinée , et qui consiste en ce que, pour une racine de l’équation finale, on trouve plusieurs valeurs égales de x : en effet, ky= 1 répond (x — i) J , si on eut
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. /,o5
donné les polynômes non décomposés comme on le voit ici, on aurait été conduit au diviseur du troisième degré
( 9/ 1 — iyr+ S)® 3 -!- (— 37 x j -+- 4 tx’ — 1 8 y-+- a)x’ -4- (2 4/^ — 3ljr' + i6jr — 3)x-t-( — — 2 )
qui , pour y— 1 , se réduit à
eeux des second et premier degrés, qui deviennent nuis pour cette racine y , sont trop compliqués pour que nous les rapportions ici.
Il est facile de voir ce qui arriverait dans le cas où, par exemple, ày=p devraient répondre trois racines x — a , à y= (i' devraient répondre deux racines x— a', etc.
3o3. Il peut arriver que les deux équations impliquent un facteur commun introduit par la question , facteur qui peut être fonction de l’une ou de l’antre, des deux inconnues, ou fonction des deux à la fois.
Supposons que ce facteur ne soit fonction que de x : les deux équations reviendront aux suivantes
fx x F[xy) =o,fxy. <?(x,y) = o ,
où f, F et <p sont des signes de fonctions. Ces équations seront satisfaites (3oo) sous -ces hypothèses
i° fx = o.
2 °..../x=o, <p(xy) = o
3°. — fx=o, F(xy)—o
4° F{xjr) = o , 9(xy) = o.
4o6 CHAPITRE XXY.
La première donne un nombre déterminé de valeurs x=a, =<*',=*", etc., qui sont des solutions des proposées, indépendamment de toute valeur dey. Examinons la seconde : pour avoir les solutions du système a®, il faut résoudre fx—o qui donnera , par exemple, x=a, =«, ==«'' etc.; chacune de ces valeurs écrite pour x dans ’f(xy) = o , laissera une équation déterminée en y , de laquelle on déduira des valeurs de y qui se conjugueront avec les valeurs ci-dessus de x , tandis que précédemment il u'existait aucune restriction à l'égard des solutions en/, qui n'étaient limitées en aucune manière: le système 3° conduira à la même conclusion.
On ne peut donc attendre de nouvelles solutions que du système 4°? traité par la méthode connue: en effet , aux valeurs de y déduites de l’équation finale , répondront , en général , des valeurs de x fournies par le diviseur du premier degré j4x — B—o , valeurs différentes de celles qui résultent de fx—o.
Par rapport à ce facteur communyi introduit par la question , la condition du dernier reste nul ayant lieu , l’équation finale doit être de la forme o — o , en sorte qu’après avoir opéré sur les deux proposées, à l’effet d'en trouver le commun divisctir, et découvert qu’il en existe un tel que fx , parce qu’il n’y pas de reste en y , on tient compte des solutions données par fx—o, puis après avoir divisé les premiers membres des équations données par /x, on applique aux deux quotiens la méthode de ce chapitre, qui fait trouver le surplus des solutions.
Supposons en second lieu que le facteur commun soit en x et y, et désignons-le par f{x,y) : les deux équations seront de la forme
/0«\r) X F(xjr) — O , /(»,/) X ?(x,y) = o
et elles seront satisfaites en même temps que celles-ci
*° /(®vr)=o
2 ° /(*,/) =0 , 9 (ay) =°
3® f\xy)=o, F(xy)=zo
4 ® F{x,y)=o, <f(xy)==o.
La première équation f(xy)—o comporte un nom- . bre infini de solutions , puisqu’on peut prendre pour y toutes les valeurs possibles sans aucune limitation , et que pour chacune d’elles on a un nombre déterminé de valeurs de x. Chacun des systèmes 2 0 et 3° n’admet qu’une partie des solutions de i® : en effet, lorsque les deux équations
f(x,y) — °, 9 (xy) = o,
par exemple, existent ensemble, on ne doit parmi les valeurs de y en nombre infini que comporte la seule équation f(x,y)xsza, admettre que celles qui font acquérir un facteur commun en x aux deux ' équations ci-dessus. On en dirait autant de la combinaison 3®. La combinaison 4° est ta seule qui puisse fournir de nouvelles solutions. Dans ce cas , comme dans le précédent on est averti de l’existence du facteur commun par l’équation
finale qui est alors de la forme 0 = 0 , ou par un reste en y , identiquement nul.
Soit le système d’équations
(3 y+ 5)® ’ ■+• (3/’ -+- 1 oy+6)x—y i — Sy * —6 y = 0 x 1 — — i)x—{\y 3 +y=o:
h la troisième division, on trouve pour commun diviseur du premier degré en ®,
4o8 CHAPITRE XXV.
• \ f/ 4 — i o /’4-35/’ — 5o/4-a4);r— / s 4- xoy* — 35/ ! 4-
5oj’— a4/
et pour équation finale O—o ; ce qui annonce un facteur commun préexistant dans les deux proposées : le polynôme précédent revient à
et en l’égalant à zéro , on en conclut le facteur x — -/ commun aux proposées : qu’on divise maintenant celles-ci par x — -/ , et on aura à traiter ces deux . équations
en leur appliquant la méthode générale , on parviendra à ces deux équations
(a/— 5)rr— 3/ * 4- 5/4- 7=o jr* — ro/’-t-SS/’ — 5o/-t-a4 = o:
cette dernière donne les racines / = i , / = a , /=3,/=4, auxquelles répondent x— 3 , x = 5, jc = 5, x= 7 ; solutions des proposées, non comprises dans x — -/= o.
Soit, en second lieu, le système d’équations
(x' 4-/ ’ )(/ x 6) (x i ) = o (*•+/• )(ax— 3/)(x— /)=o :
ce système comporte d’abord un nombre infini de solutions, fournies par le facteur commun æ’4-/’ égalé à zéro. En partant de ce qui a été dit (3oo) , il faudrait faire toutes les combinaisons deux à deux des
facteur» des deux proposées ; mais d’après ce qui précède , les combinaisons du facteur commun avec « chacun des autres , doivent être rejetées , et on ne doit traiter que les équations quotiens
(jx— 6)(ar— i) = o, (ax— 3 /)(x— y) = o ,
qui fournissent ces combinaisons
* yx — 6 = 0, ax — 3 j=o;
yx — 6 = 0 , x — y — o
x — 1 = o , "xx — 3 y= o x— 1 —o , x — y o j
d'où l’on déduit ces autres solutions différentes des ' premières , savoir :
y=+ a et x— 3 ; y= — a et x— — 3 , y—± 1/6 et
x=± 1/6; y=+ 5 et x — + 1 ; y= r et x= + i,
dont aucune n’est comprise dans x'-{-y'=o.
Supposons enfin que le facteur commun introduit par la question , ne soit fonction que de y , on que les proposées soient de la forme
/y x F(xy) — o, fy x ?(x,j)= o :
on aura ces combinaisons
i°. . . .F{xyr) — o
/j=o, f(xy)=o
3 d fy —o, F(x,y) — o,
4 ° F(xy) — o, 9 ( xy ) = o :
d’après la première, les deux équations sont satisfaites par un nombre déterminé de valeurs de^', in-
4 io CHAPITRE XXV. .
dépendamment de x : il est clair que les seconde et troisième combinaisons ne font que restreindre les solutions données par^=o, puisqu’en tirant de cette équation des valeurs de y, et les reportant successivement soit dans ?(«•,?•) =o, soit dans F(x,y)=o t on a des équations qui ne peuvent plus être satisfaites que par un nombre déterminé de valeurs de x. -Il faut donc passer de suite au système 4° et le traiter par la méthode générale , pour avoir le surplus des solutions. On observera ici que si l’on n’a pu découvrir d’avance ce facteur commun /y, et le suppri- ' , mer, il passe dans tous les diviseurs successifs et dans l’équation finale qui est réductible à la forme fyx $jr=z:Oy <î>y^o faisant connaître les solutions en y qui conviennent au système 4°» tandis que les racines 7, 7', •/'etc., de l’autre facteur Jy=o, substituées successivement dans tous les polynômes et dans les proposées , les anéantiront indépendamment de toute valeur de x : on tire de là un moyen de composer le fadeur fy : à cet effet-, on multipliera entr’eux tous les facteurs correspondais à ces racines 7, 7, 7" etc., de l’équation finale, put» on divisera les premiers membres des équations données
P ar Jy-
Si fy n’était facteur que de l’une des proposées , ou si l’on avait
F{x,y) = o, Syxo{x,y)=o, on aurait à traiter ces systèmes d’équations
F{xj) = o, Jy=xo
Pour le premier, on résoudrait d’abord fy—o dont on reporterait successivement chacune des racines
ELÉMLNS D’ALGÈBRE. 4u
dans J’\x,y) = o, d’où on tirerait un nombre déterminé de valeurs conjuguées de x. Il pourrait cependant arriver que l’une de ces racines y réduisit F[xy) à un nombre; on la rejetterait ainsi que celles qui produiraient le même effet. Au reste, ce cas rentre dans celui que nous avous examiné (299). Il peut encore arriver que l’une des équations ait pour facteur une fonction de x, ou une fonction de x et y, circonstances qui ne peuvent présenter aucune difficulté.
3 o/|. Les deux exemples suivans offrent le cas où l’un des diviseurs, qu’on rencontre dans le cours de l’opération , renferme un facteur commun , fonction des deux inconnues.
Soit, en premier lieu, le système d’équations
. jV-fjrV— Cr*+y— vK+Cr*— /+o*—
y'x*+yx'~- 4 y*-\ry’ — i)x+y — 1 —o .-
on trouve pour diviseur du second degré yx*-\-x — f — y, savoir : yix? — y*)+(x — y) ayant pour facteur commun x — y. Si l’on continue la division , sans supprimer ce facteur , on obtient ces deux équations
x+y—i = o, y 2 -H l -, y— ^=0, dont 00 tire ces solutions
y = — 1 et x = a , y= - et x = -•
En supprimant le facteur x — y, on parvient à ces équations
4ia CHAPITRE XXV.
qui ne donnent .que le seul couple de valeurs
y— — i et x — a : le couple qu’on ne retrouve pas,
est celui-ci y = - et x= ^ qui satisfait au facteur
commun supprimé x— y.
Soient , en second lieu , les deux équations
7* s — . jx'— ( f— y— a> 3 -+• {y 3 — y * — y — i>*— (y—i)x — 0 ,
yx'—iy ’ —y— i )x ' — y ’ x y = o :
on trouve pour premier reste, ou pour diviseur du troisième degré , x 3 — {y" — i )x — y , c’est - à - d ire , x(x’ — y')-\-x — -^qui contient le facteur x — y : en continuant la division , sans supprimer ce facteur x — y, on est conduit aux deux équations
dont la dernière revient à
d’où on tire facilement les solutions
y —o et x — o\ y= i et x — i.
Iæ surplus des racines y serait fourni par
équation que nous n’entreprendrons pas de résoudre. Qu’on fasse maintenant la division, en débarrassant le diviseur du troisième degré du facteur commun x — y : on sera conduit à ces deux équations
yx+y- 1 - i = o, y'—y'—zy — 1 = o > qui ne donnent plus les deux couples de solutions y=o et x=o, y— i et x=i,
qui rendent nul le facteur commun et supprimé x — y.
Il faut donc encore mettre à part ce facteur en x et y, et le combiner ensuite avec les deux proposées pour obtenir les systèmes de valeurs, qu’ou perd en le supprimant. En effet , dans l’exemple précédent, si on égale à zéro le facteur supprimé, on en tire y=x dont la substitution, dans les équations données , les réduit à
qui s’accordent à donner x = o, et x — i , valeurs auxquelles répondent y=o et y — i, d’après x — y—o.
3o5. Lorsque le dernier reste est indépendant de y , c’est-à-dire, lorsqu’il est un nombre, on en cou-, dut ( 297 ) qu’il y a absurdité dans la question, ou, en d’autres termes, que les deux équations sont eu contradiction. Pour mettre cette proposition en évidence , soit le système d’équations
y*' — Cr’ — 3j— I )x+y —0
le dernier reste sera 3, qu’on ne peut égaler à zéro, en sorte que les deux proposées ne peuvent admettre de facteur commun dépendant de x. Le diviseur qui donne le reste 3, est x-hy : maintenant pour mieux reconnaître l’incompatibilité des deux proposées, posons
et on aura
yx' —(j , —3y—i)x+y=(x+y)Q ' +3 <?+x+y=o a?— y*- f-3 = (*+ÿ)Q+ 3 = o
équations dont la première est le multiple (/ de la
seconde, augmenté de x+jr : d’après cela, l’équation finale doit dire et dit, en effet, que si l’on pouvait supposer 3 — o, l’incompatibilité cesserait, et x-by deviendrait, en effet, commun diviseur.
Lorsque les racines^- de l’équation fiuale ne fournissent qu’un commun diviseur numérique , les équations ne peuvent encore comporter de solutions eh x et y, et partant il y a impossibilité dans la question (297).
3 06. Dans le cours des divisions qu’on est obligé d’effectuer pour parvenir au diviseur du premier degré en x , qui est, généralement parlant, le terme de l’opération, on peut, lorsqu’on parvient à un reste de même degré que le diviseur, employer encore ce reste comme dividende , ou le prendre pour diviseur : les systèmes de solutions restent les mêmes , quoique le diviseur commun et l’équation finale puissent se produire sous des formes différentes.
307. On trouve dans le i 5 e . cahier du journal de l'école polytechnique , une théorie de l’élimination ,
, due à M. Brel, professeur à t académie des sciences de Grenoble , appliquée à m équations de degrés quelconques , entre m inconnues : cette théorie pour deux équations était déjà connue et même répandue dans la plupart des élémens d’algèbre : mais personne avant lui n’avait encore fait connaître le moyen de débarrasser l’équation finale des racines étrangères qui s’y introduisent communément par la nature des opérations , comme on l’a fait remarquer (299), et par suite d’estimer le degré de cette équation réduite aux seules racines qu’elle doit contenir. L’auteur a fait réflexion depuis que ce point important d’analyse pouvait être présenté d’une manière beaucoup plus simple et qui permet d’abréger
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 4i!>
considérablement les calculs. Tel est le sujet du mémoire de M. Dret, que nous allons faire connaître avec quelques changemens.
• Soient
deux équations complètes cm et jr, ordonnées par rapport à .r, la première du degré m et la seconde du degré n , en sorte que les premiers termes de X et X' soient x m et x", et supposons m>n — i. Si l’on cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers membres , avec l’attention de multiplier à chaque division, tout le dividende par le carré du coefficient en / du premier terme du diviseur , ce qui donne de suite les deux premiers termes du quotient sans dénominateur en /, on obtiendra une suite d’équations telles que celles-ci
Y"”X" == X"'Q"-t- X"", etc.
où Q, Q', Q", etc., sont des quotiens, fonctions entières enx et/, et Y"’, Y"'’, etc., sont respectivement les carrés des coéfficiens en y des premiers termes des polynômes X", X'", etc. , coéfficiens qui ne sont pas facteurs dans les termes suivans (*).
(*) Si l’on observe qu’en général le polynôme dividende est en x , d’un degré supérieur , au moins , d'une unité , au polynôme diviseur, on reconnaîtra qu’il y a lieu à deux divisions avant d’en venir à un reste d’un degré moindre que le diviseur , divisions qui se feront sans quotient fractionnaire, en multipliant le dividende par le carré du coéfficient de plus haute puissance de x an diviseur.
En vertu de la première équation, toutes les solutions ou couples de valeurs, données par X=o et X' = o , conviennent aux équations plus simples X'=o et X" = o, (295). La seconde prouve que les % solutions de X' = oet X"= o se composent des solutions de X" = o et X" =0 moins les solutions de Y "‘=0 et X" = o, puisqu’en effet les solutions de X’=o et X"'—o comprennent celles de X'=oetX — o plus celles de Y"* = oet X" = o. On voit par la troisième que pareillement les solutions de X" = 0 et X"'=o, se composent de celles de X'"—o et X""=o moins celles de Y"” = o et X" = o , et ainsi de suite.
Si donc on dénote ,' en général , par le symbole |P,Q] la totalité des solutions que fournirait le système d’équations P=o et Q = o, on aura par ce qui précède , et , en ne considérant que trois équations ,
d’où nous conclurons
[X.X'] = [X'vn — [Y"’,X"] — [Y'"‘,X"'] (o)
et nous allons prouver que X"" doit renfermer Y* en facteur. En effet, X",X"',X"" étant des polynômes successifs des degrés n — 1 , n — a, n — 3 (*), à chaque
On observera que, dans les polynômes proposés X et X' les plus hautes puissances x m et x" étant multipliées par l’unité,
nécessairement dans les polynômes X", X'" les puissances
les plus élevées de x seront x" 1 , x n *, x" ® ctc ‘> niais que ces puissances peuvent avoir des coéfficiens en y.
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 4i 7
valeur 7 ' , = £,=?§',== fi", etc., tirée de Y" ‘=o, l’équation X"=o dont le premier terme multiplié par Y" disparaîtra, donnera n — a valeurs de J? qui, prises avec celles de j**, devront également satisfaire aux équations
X"'=oetX""==:o, comme on le conclut de ces équations
donc X"", qui est un polynôme du degré n — 3 par rapport à x , devra devenir nul de lui-même, lorsqu’on y fera /=[}, = £', — fi", etc., puisque, dans le cas contraire, l’équation X ""= o serait astreinte à donner plus de racines ir, qu’il y a d’unités dans son exposant : pour échapper à cette contradiction, ce polynôme doit devenir identiquement nul. Le calcul prouve j en effet, que X"" est exactement divisible par Y"*. Quant à X", comme pour jr = $,= { etc., il reste généralement du degré n — a , c’est-à-dire , du même degré que X", il s’ensuit que, pour chacune de ces valeurs de jr, les équations X''=oet X'"— o s’accorderont à donner les mêmes racines pour x , c’est-à-dire, qu’on aura suivant la notation adoptée,
en sorte que l’équation (a) se réduit à
[xx\ = [X"',X-"] — [Y"\X'"J — [Y"'*,X'"]. .(«*) :
soit maintenant x'"'=r"xY'’ ; on aura, d’après la même notation,
substituant pour [X"',X""J sa valeur dans (a"), on aura
En rapprochant {b) de (a), on .voit que la division de X"" par Y'", a fait évanouir les solutions étrangères [Y"‘,X"] qu’avait introduites la multiplication par Y"’ : la division du reste suivant X'"" par Y'"’ ferait de même évanouir les solutions étrangères [Y"",X"'J que la multiplication par ce même facteur a iutroduites ; d’où il suit , en général , que si l’on a soin de diviser chaque reste, à mesure que l’on opère , par le carré du coéfficiént du premier terme de l’antépénultième reste, ou du reste dont l’exposant est moindre de deux unités, l’équation finale se trouvera débarrassée de toute solution étrangère.
On observera que la conclusion précédente serait en défaut , si Y" était facteur dans plusieurs des premiers termes de X", parce que, dans ce cas% X"" pourrait être de même degré , au moins , que X" et X'", après les substitutions faites des valeurs de ^tirées de Y "‘ = o. Mais alors, et en supposant, pour fixer les idées , que Y" ne multiplie que les deux premiers termes de X" , on aurait à considérer l’équation consécutive aux équations (a) , savoir
y"* » . y>QW | jwi»
où X'" est toujours du degré n — a, X"" du degré n — 3 et X"'" du degré n — 4 : or , les deux premiers polynômes X'" et X"" devenant nuis par n — 3 valeurs de x , pour chaque valeur de y , tirée dé Y"’ = o, le polynôme X'"" ne serait pas d’un degré assez élevé pour admettre ces n — 3 solutions eu x ; donc il renfermera le facteur Y"*.
Soit le système d’équations
x i +yx — y+y ' — a ~ o 'x i +(t+y)x , —y^i+y)x — i =o:
ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 4 i 9
après la première division, on trouve le reste
—(i+y)j:'+jr('i+y)x—jr‘+y—i ,
de sorte qu’il faut multiplier le dividende correspondant x î +(n-j)x’ — -y(i+jr)x — i par ( i +/)’ • les racines étrangères qui résultent de là , sont données par
( i.+jY = 0 y /(*+/)*— /’+/*— T =0:
en continuant l’opération, on parvient au reste du premier degré en x •
— t)x — — aj 4 -f-3/ 3 — 2j ' — 67 — 2
et à l’équation finale
i ï/ 6 — 77JT 5 — 7 1 / 1 +ag^ î -*-67j 3 -t-3a/-t-5 = o ,
laquelle divisée par ( 7 -t- « )* , deviendra
t\ ÿ> — 6 j * — i 17’+ 1 l\y r '+ 1 4j 5 — 3 1 — aQ x 3 + 1 87* -+- , ■ ,** 74 - 5 = 0 , f
et ne contiendra plus que les solutions vraies en y. Les valeurs correspondantes en x, seront données
P ar * •
*.r*+ïr*— $.7*+*. ?+&+.* i
Pf+ir-'
308. On pourra. s’exercer à la pratique de l’éliminatiou , sur les exemples consignés vdaus? le tableau ci-joint où nqus ayons eu soin de les varier, de manière qu’ils offrent tous les cas énumérés.
30 9 . Nous allons démontrer que le plus haut degré auquel puisse s'élever T équation finale i qui résulte de [élimination dune inconnue entre deux équations
4 ao CHAPITRE XXV. ‘
complètes qui en renferment deux , est le produit des nombres qui expriment les degrés respectifs de ces équations.
Représentons simplement les deux proposées comme il suit : • ' • • • . ;
et opérons conformément à la méthode. Dans la division de [.r n, -t- etc.] par [ x n -+- etc.] , lé terme de plus haut exposant de x dans le reste, sera x"—', et comme tous les termes du dividende ont le même nombre de dimensions en x et jr, nombre qui est m , le polynôme en y, facteur de x”-', sera
Désignant donc ce premier reste par
R , on aura
