etc

Dans la seconde division qui est celle de

par le polynôme. . . .

. r •' ^Am3Eau«s .

« , Jar n — ‘-f- l e terme d’exposant

plus élevé de x dans le reste, est x n ~ », et comme tous les termes du dividende, sont homogènes et du degré a(m — «4-i)-t-n, il s'ensuit qu’en désignant par js le degré ;du polynôme en jr, facteur de x n — » dans ie reste, on aura , . , r ■ ,

z -4 - n — i = i » (fi — rt+i) -+-n, d’où s— a (rn — «4- a) :

..:^l #-A zsjvf Ju* : , ,

, en dénotant ce reste par R , on aura donc

ÉLÉMEîïS D’ALGÈBRE. 4*i

La troisième division qui sera celle dej/ 2 ^

[/(* J .r"— a -+- etc. , donnera x n ~ 3 pour

terme de plus haut exposant de x dans le reste : comme le degré de chaque terme du dividende, est le même que celui du premier terme , et conséquemment

si l’on désigne par t celui du polynôme (acteur de x n ~ 3 , on aura t + n — 3 — 5m — 4^4-8, d’où t = 5(m — n)+n , en sorte que le reste est

1 1 Jx n — 3 -t-

etc:

mais en observant que le polynôme \y H ~ *^*] est le facteur de x n ~ 1 dans le troisième diviseur que nous avons désigné par X" ( 307 ) , et que le reste en x n ~~ 3 est le diviseur que nous avons représenté par X"",

il faudra, conformément à la théorie, diviser X"” =

[ 5(m — f m — n -\- 1 V jr K J^ B - 3 +etc.parY"'=[^ +...}*

ce qui réduit le degré du troisième reste /t", qui devient alors

• ‘ JT = [ 3 ( m “ n+3 ;’]x*- 3 + etc. . . . (3°).

En divisant

[7 3( "r. +3 . ) ]'[0' a( "Z +a) ) ic "-- + ' ete ' ] P“

/ Y ' \x n ~ i + etc. , on trouve pour reste

ce reste réduit à son véritable degré, c’est-à-dire, divisép a rr" = [r a | m -" + . 2) ]', est

En examinant le mode de composition des restes successifs, on remarquera qu’ils sont de la forme

et on en déduira la forme du dernier reste , en observant que puisqu’il ne doit plus renfermer x, la valeur de k qui lui est relative , doit être déterminée par la condition n — k=o, d’où A = n, et

k{m — n-\-A) = mn ;

d’où l’on conclut que l’équation 6na!e, qui n’est què ce dernier reste égalé à zéro, est

M. Bret considère le cas où les deux proposées ne sont pas complètes, mais il nous suffit d’avoir assigné le maximum du degré de l’équation finale.

M. Poisson a démontré la proposition générale comme il suit : soient les deux équations

x m Px'" —I -t- Q jc 1 "— 1 -f- -t-T x+y =o

x»+P>-‘+Q> , + +Tx+P r '=o:

il est évident que le degré de l’équation finale ne peut être abaissé , si Fon réduit chacun des polynômes en y, représentés par P,Q. . .T,^; P,Q', . . . .T,V\ au terme de plus haut exposant en y : car par cette modification , le degré de chacune de ces équations reste le même , ainsi que ceux de leurs différens termes : on peut donc aux proposées substituer celles-ci (ag4)

x m +ajx m — l +by' x m ~ *4- -\-ty**— t x+vy m =.o

x'+a/x"- 1 -\-b'y'x n ~*-\- -\-(y n — l x-\-vy”=Oy

de mêmes degrés et qui reviennent aux suivantes

dans lesquelles l’inconnue est y , et les coéfficieos

a , b, t et v\ a , b' t' et v sont des nombres

toujours données par la question.

Maintenant si l’on désigne par «, p, 7 les

racines de la première équation , par a', p', y , etc., celles de la seconde , on pourra les décomposer comme il suit (Chap. XXII.)

d’où résultent

(x— ajr) (x— P/)(X— ' Xr) etc. = O (^)

(x— a j)(x— p»(x— 7 jJ etc. =0 (B):

or , si dans (A) on substitue successivement pour x chacune des racines de ( B ) , savoir

x — dj, x—$y, x=f; t etc.,

et si l’on dit que , par chacune de ces substitutions , l’équation ( A ) est satisfaite,' on aura ces n équations

y m [d — «)(«— ?)(«—■ v) etc. = o 1 *)(P'— P) (P'—' ï) etc. =o *)(f— Mi— 1 t) etc. = o ,

• etc.

chacune du degré m , qui fourniront toutes les solutions en y , d’où il résulte que leur produit sera l’équation finale, puisqu’il deviendra nul par toutes les valeurs de y , qui anéantiront ses facteurs et seulement par celles-là (*) : or, ce produit est évidemment du degré mn. Donc, etc. On observera que par la modification qu’on a fait éprouver aux

(*) Cette marche revient à combiner successivement chacun des facteurs de (B) , égalé à zéro , arec chacun des facteurs de (A) , pareillement égalé à zéro (3oo) , et à tirer de ces équations les valeurs de y, lesquelles seront en nombre mn et toutes égales à zéro.

ÉLÉMÉNS D’ALGÈBRE. . 4a 5

coéfficiens des proposées , on a bien altéré les valeurs numériques des solutions en y qui toutes sont devenues zéro, mais qu’on n’a ni augmenté, ni diminué le nombre de ces solutions. ( Voyez la seconde section. )

3ro. Pour concevoir parfaitement les divers cas particuliers qui peuvent se présenter dans l’élimination entre deux équations, on peut, comme nous l’avons déjà dit (ag5) , former d’avance des systèmes d’équations qui se rapportent aux circonstances que l'on se propose d’examiner : or, cette recherche se réduit à la solution du problème suivant.

Composer deux équations dont chacune soit d’un degré donné , et qui soient satisfaites par des couples de valeurs données.

Nous supposerons d’abord deux équations du même degré. La substitution d’un système de valeurs x~a. et^=p dans une équation du degré m à deux inconnues , donne une relation entre les nombres a , p et les coéfficiens indéterminés de cette équation qui sont des inconnues au premier degré; on pourra donc se donner autant de ces couples de valeurs de x et y, qu’il y a de coéfficiens dont le

nombre— pour l’équation complète du de- 2 /

gré m ( 294 . Note) ; que si on en prenait un plus grand nombre , on aurait plus d’équations que d’inconnues : cependant une équation ainsi formée , peut encore être satisfaite par une infinité d'autres valeurs Ae x et y , puisqu’en écrivant pour x un nombre quelconque , on obtient m valeurs dé j.

Qu’il s.’agisse, par exemple, de composer deux

4a6 , CHAPITRE XXV. -

équations du troisième degré, qui soient satisfaites -

par les huit couples

x—o et y—o,x—i et y—o\ x—% et y=o-, x=—ï et j= r ; x = i et /=— i; x=o et y—i ; x—i et y— i ; x—o et y= — a;

on les substituera dans l’équation générale du troisième degré

x * •+■ (a+l?ÿ)x * -+- (c+djr-t-ejr' )x

+(f+sy+ h j' +fy*) s = ° 0 ) >

et on aura, pour déterminer les coéfficieus, huit équations qui serviront à évaluer pareil nombre des indéterminées a,b,c,d,e,/, g,h, dont les valeurs reportées dans la proposée, la changeront dans celle-ci

x'-h Ç-Ay+ïy — 3^ x’ —

+ y' +3y—*)x—4ty+ty i — o — (a) ,

où le coéfficient A reste arbitraire. Si l’on fait A = o , et A = a , on partagera l’équation (a) en deux autres, qui outre les huit couples précédens, adi • • 3a t io

mettront encore celui-ci x= — et y=z — • Si 1 on

prenait au hasard un neuvième couple , autre que le précédent, pour composer les deux équations cidessus, on n’obtiendrait qu’une équation, parce que le coéfficient A ne serait plus indéterminé ; d’où il faut conclure que si une équation du degré m, est f . m’+'im

formée avec couples quelconques, pris ar-

bitrairement , et si aucune des équations de condition n’est comprise dans les autres, il est impos-

ËLÉMEHS D’ALGÈBRE. 417

jsiblc qu'il existe une autre équation du même degré , qui ait , avec la première , ces couples de valeurs communes , quoique d’ailleurs deux équations du degré m puissent avoir m 1 couples communs , comme on l’a vu O09) , c’est - à - dire , un

nombre plus grand que ^ , lorsque m est > 3 .

„ , , , , , m' + 'im — a

On peut donb prendre , a volonté cou-

ples communs , afin d'avoir une équation en x et y contenant un coéfficient indéterminé k dont on puisse disposer : ainsi , par exemple , m étant 5 , le nombre des coéfficiens de l’équation générale , sera

m'+'im . . m’+ 3 m — 2

=20, et on en détermine = iq:

cependant le nombre total des solutions peut s’élever à m' — iS , d’après ce qu’on sait (309) : en sorte qu’outre les 19 couples qui ont servi à former l’équation et celui qui répond aux deux valeurs de k , qui la partagent en deux autres, il peut y avoir lieu à cinq autres couples. On voit donc que le calcul prouve seulement que les deux équations comportent vingt solutions , mais non pas qu’il est impossible qu’elles en aient davantage.

On doit aussi remarquer que l’on peut prendre pour k une fonction quelconque de x ou de jr , puisque les équations qui déterminent les autre» coéfficiens, sont satisfaites quel que soit k : on pourrait ainsi élever le degré des équations qu’on forme, et celui de l’équation finale, etc.

Si les deux équations qu’on veut former, doivent être de degrés différens , on pourra toujours leur donner autant de couples communs, qu’il entre de coéfficiens indéterminés dans l’équation du degré

inférieur et on peut même leur en donner un plus grand nombre, en choisissant encore quelques-uns de ceux qui peuvent vérifier cette dernière équation. Lorsqu’on choisit des couples tels qu’à la même valeur de y , répondent plusieurs valeurs de x , il est évident que le nombre de ces couples doit être , tout au plus , égal à l’exposant de x dans l'équation du moindre degré.

Supposons enfin que l’on veuille composer une équation telle que si l’on remplace y par p, le polynôme qui en résulte, soit divisible par un nombre N: on écrira d’abord p pour y dans l’équation générale

ax m -\-(b+cy)x m ~ 1 + etc — o,

puis on posera les équations de condition

a = Nq , b-\-c$ = Nq , d+e$+f$‘ = Nq" , etc;

si l’on choisit arbitrairement les quotiens entiers q, q ’, q", etc., on aura m+i équations qui serviront à déterminer m-t-i coéfficiens de l’équation

* générale, en sorte qu il en restera dont les

valeurs peuvent être calculées de manière à satisfaire à d'autres conditions. Ainsi la condition énoncée produit le même effet que les données de m- 1 - 1 couples de valeurs. *

Si l’on Veut composer des systèmes d’équations qui n’aient précisément pour solutions communes que les couples donnés , on multipliera entr’eux les facteurs correspondans aux racines y , et leur produit sera l’équation finale cherchée ; eusuite on prendra un polyuome en x et y, et, par exemple, du premier degré en a 1 , si, pour chacune des raci-

ELÉMENS D’ALGÈBRE. 4 29

nés y, on ne doit avoir qu’une valeur de x, et d’un degré en jr, tel que le nombre des coéfficiens indéterminés soit, au moins, égal à celui des couples de racines données: on déterminera ces coéfficiens au moyen des équations auxiliaires fournies par la substitution des couples donnés dans le polynôme du premier degré égalé à zéro : ayant ainsi l'équation finale , et le diviseur du premier degré en x, on sait (29$) former des systèmes d’équations qui admettent ce diviseur et cette équation finale.

3 1 1 . Euler réduit la recherche de l’équation finale à l'élimination d’inconnues entre des équations du premier degré. Nous allons donner en peu de mots, une idée de sa méthode. Il pose

x m \-Px m — , + Qx m ~' , + etc. =

(x — a)[x m l +Ax m ~* < +Bx n ^-t-etc.]. . .( 31 )

■ x" -h Px n — ‘ -+- Q x"~ 3 + etc, == ,

(x — «) [x n —*-\-Jx n - *+Bx n ~ *+, etc.] (AO

P, Q, R, etc., P' , Q, R, etc., ayant même définition que ci-dessus (294 ) , et a étant une fonction de y. Pour évaluer les indéterminées A, B, C, etc., A', B , C , etc., fonctions de jr , on, multipliera par x n ~ l 4- Ax"—* 4- etc., et (N) par x m ~ l Ax m ~* -f- etc., ce qui donnera l’identité

(x m +Px m ~ l + etc ,)(x"~ l +A x*î‘+ etc.)

— (x n +Px*—'+ etc.)(x'’*— 1 -t- Ax m -^ % -t- etc.) >

effectuant les produits et comparant les coéfficiens des mêmes puissances de x, on aura m+n — 1 équations entre les m+n — 2 indéterminées A, B , C. . . . A' , B , C. . . . : il suffira donc de m+n — 2 équa-

43o CHAPITRE XXV.

tions pour les évaluer; conséquemment il restera

une équation entre P , Q , A . .... , P', Q, K

qui devra être satisfaite , pour que les proposées (AI) et (A) acquièrent un commun diviseur x — a: cette équation de condition , sera l'équation finale

. cherchée. Les inconnues A, B , C A , B , C . . . .

b’ étant pas multipliées entr’elles, les équations résultantes des comparaisons , seront du premier degré. L’équation finale étant résolue, on substituera successivement chacune de ses racines y dans^, B, C. . . .

A , B , C, etc. : on aura donc ainsi les quotiens des polynômes ( M ) et JS) par le diviseur commun x—a qu’on obtiendra eu effectuant la division. .

Il faut remarquer que si les deux proposées sont incomplètes, les deux produits ne seront pas des polynômes complets du degré mS-n — i ; mais les , termes qui manqueront dans l’un , se trouveront dans l’autre. En effet , le cas le plus défavorable serait celui des deux équations

l’identité qui résulte des deux produits, sera

(x m +P)(x n —‘-h Ax n ~ » - + ) =

t. ... {x n -\-Q)(x m — I -\~Ax m —‘ x -\~ etc.)

sur lesquels il est aisé de vérifier le fait énoncé.

En supposant le diviseur en x du premier degré, on suppose awssi que chaque valeur de y ne donne qu’une valeur de x , ce qui n’arrive pas toujours : .

dans le cas contraire , ïe quotient

x m -hPx m ~ '-t-etc. a , ’ , -t-/ / x' , ~ I -t-etc.

ou -

x"‘— l +Ax m —*-h etc. x n — l +Ax"—' x

qui représente x — a, ne contenant qu’un facteur de

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. /,3i

plus au numérateur qu’au dénominateur, ne peut pas donner à la fois les diverses valeurs de x : d’ailleurs il n’y a pas de raison pour qu’on obtienne l’une plutôt que l’autre; ainsi, dans ce cas, la méthode parait en défaut.

Pour expliquer cette particularité , reprenons dans un ordre inverse les raisonnemens qui ont conduit à l’équation finale : chaque valeur de y, tirée de cette équation , satisfait aux m+n — i équations de condition que l’on a posées , et par conséquent à l’identité

(x m + Px m ~ 1 -v etc.)(ar n — 1 -t- A‘x n ~‘ i -\- etc.)

= {x n +Px n ~ *+ etc.)(a*“— ‘-t- Ax m ~ »-»- etc.) ou à celle-ci

x m -t- Px m ~ ' -t- etc. x n -k-Px n ~'+ etc.

etc. x n ~ l -\-Àx n ~ >-+-etc. *

or, en désignant par Fx la fonction qui représente chacun de ces quotiens , on aura

x m y-Px m ~ ‘-t-etc. = Fx{x m — 1 -\-Ax m —‘ 1 -\- etc.) \x n +Px n — l +z\.c.^Fx(x n — 1 +A'x n —*+ etc.),

et il est visible que les deux proposées seront satisfaites , lorsqu’on attribuera à x des valeurs qui vérifieront l’équation Fxt=.o : cette fonction étant débarrassée des facteurs communs à ses deux termes, sera entière ou fractionnaire : dans le premier cas, elle sera du premier degré , et en l’égalant à zéro , on en tirera la seule valeur x = * qui répoud à J— P- Mais si Fx est fractionnaire , les proposées seront satisfaites par chacune des valeurs de x qui réduiront son numérateur à zéro : on obtiendra donc les divers couples de valeurs dans lesquels y est toujours — p. Il faut avoir l’attention de ne pas

43a . CHAPITRE XXV.

supprimer dans Fx les facteurs communs à ses deux termes qui se trouveraient en même temps facteurs dans les deux fractions

x m -t- etc. x" - 4 - etc.

et :

etc. . x n ~ ‘-f-etc.

car ces facteurs, égalés à zéro, réduiraient aussi les deux proposées à zéro.

Lorsqu’on calcule l’équation finale en y, par la méthode du plus grand commun diviseur , et par celle d Euler , il arrive souvent , comme on peut s’en convaincre sur des exemples particuliers , que / la dernière donne plusieurs racines de moins que l’autre , quoique les racines omises fournissent de nouveaux couples de valeurs. Cela vient de la suppression des facteurs communs aux deux termes des fractions qui sont les valeurs des coéfficiens A , B, etc.. A' , B , etc. : lorsqu’on ne réduit pas ces fractions à leurs moindres termes, qu’on substitue dans la dernière équation de condition , les valeurs de A y B , etc., A, & , etc. tirées des m+n — i autres , et qu’on réduit tous les termes au même dénominateur , elle conserve tous les facteurs : ou retrouve donc ainsi autant de racines que l’on perdrait, sans pouvoir en reconnaître l’existence.

. Nous donnerons un seul exemple à l’appui de la remarque précédente. Soieut les deux équations

x‘ -t-(3 — 3 y)x' +(3/’ — 6/ — i)x+3/’ — -y 1 +y — 3=o = (x — a.) \x' +Ax-\-B\

x 3 +(3y — 3)x a 4 - (3/* — b/ — i)x+f — "5y , —y+3=o =(x — ot)[x’ +A x+B\ :

en opérant d’après la théorie , on est conduit aux

équations de condition

(3) a (Sy'—y’+y — 3) +^(3 y’ — 6r — i)-t-

(4) À'&y'— y'+y— 3)+Æ'(3j*— Gy— i) =

— ^ CAr ’— /’+/— 3 )+ s ( 3 7’— 6 /— 0

la première de ces équations donne A’=A—i[3—3y) ;

la seconde en y remplaçant B par — B , d’après (5), donne

jf —

égalant ces deux valeurs en A y il vient A = 3=3y +3 ~ 3 / :

ces valeurs de A et A étant portées dans les quatrième et troisième équations , donnent

et l’équation finale

y— 3y+ajr=o ou (f— 3/+a)/=ro;

d’où on conclut les trois racines y=o, y— i , y= a, tandis que l’autre procédé d’élimination conduit à une équation finale du neuvième degré qui fournit les racines

y=o,y=o, y— i, y—i,y=i,yz=n, y— a, y=3,y=—i:

la première équation finale n’a pas fourni les racines y— 3, y = — i , parce qu’on a supprimé le facteur 3 y' — y’+y — 3 commun aux deux membres de la quatrième relation , en observant que B et B' sont nuis. On a aussi dégagé l’équation finale du facteur y — i qui existe dans la relation (a) ; on a pareillement écarté le facteur y*.

Nous serions entrés dans beaucoup d’autres détails sur cette dernière méthode , si nous n’eussions craint de trop alonger ce ohapitre déjà très-étendu.

RECHERCHE DES RACINES RI? El, LES , ENTIÈRES ET INÉGALES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

3ia. On 'distingue deux grandes classes de racines , savoir : les racines réelles et les racines imaginaires : nous nous occuperons des premières dans les chapitres suivans , et nous renverrons la recherche des autres à la seconde section de ce traité. Comme on peut toujours exclure les racines fractionnaires d’après l’une des transformations enseignées (Chap. XXIII) , nous n’aurons plus à distinguer dans la première classe de racines, que des racines commensurables et incommensurables qui pourront être inégales ou égales. Ainsi nous allons successivement exposer les méthodes qui servent à découvrir i° les racines réelles, inégales et commensurables ; a® les racines réelles égales tant commen-

durables qu’incommensurables ; 3 ° les racines réelles incommensurables inégales avec toute l’approximation requise.

3 r 3 . Une équation algébrique étant donnée, on peut toujours, par les transformations enseignées ( Chap. XXIII ) , la réduire à la forme

x m — Ax m — l y-Bx' n —‘ l — Cx m — i — Txy-V—o (r) ,

dont les coéfficiens sont des nombres entiers , et on a vu (Chap. id.) qu’une équation ainsi préparée, ne peut comporter de racines fractionnaires. Soit donc a une des racines de l’équation (1), en nombre et en signe : par la substitution de a pour x dans (1) , on a

a m — Aa m -'+Ba m —* — Ca m ~ 3 — Ta+ Fz= o (a) ,

d’où on déduit

- = — [a m — ' — Aar'—'+Bar '— 3 — T\ :

comme le secoud membre est entier , on conclut de là que le terme tout connu V est divisible par la racine a, ce qui résulte d’ailleurs de la composition du dernier terme en racines, démontrée (273).

Il suit de là qu'en cherchant tous les diviseurs du dernier terme d une équation , et essayant successivement chacun deux , sous les signes + et — 1 comme racine , on trouvera toutes les racines entières que peut comporter la proposée : si aucun des diviseurs du dernier terme ne satisfait à V équation , on sera assuré que celle-ci ne comporte pas de telles racines.

Soit, pour exemple, lequation

jc 3 — + — 8 = o:

les diviseurs du dernier terme, pris sous les deux signes, sont i , a , 4» 8, — i, — a, — 4> — 8; essayant successivement ces nombres pour x , on trouve que 4 - 1 , 4 - a , 4 - 4 » réduisent le premier membre à zéro : d’où l’on conclut que ces nombres sont racines de la proposée.

Mais lorsque le dernier terme de l’équation comporte un grand nombre de diviseurs , le procédé cidessus devient très-laborieux : à la vérité, on peut, dans certains cas , réduire le nombre des tâtonnemens par un artifice de calcul que nous allons faire connaître sur deux exemples.

Soit, en premier lieu, l’équation

x 3 — 7ax* — 316x4-1296 = 0:

en posant x = 2/, on a la transformée

laquelle est divisible par 8, et devient

Par rapport à l’équation

on remarque que a4o = 8 x 3 o et 76=4x19; en

sorte qu’en posant x = a/, la transformée devient divisible par 8 : cette réduction faite , on a

équation dont le dernier terme est moindre que celui de la proposée.

3 14> Nous allons faire connaître les conditions auxquelles doit satisfaire tout diviseur du dernier terme , pour être racine de l’équation , en sorte que tout nombre qui ne les vérifierait pas, doit être rejeté.

Comme la généralité de l’analyse, que nous allons employer , ne dépend pas du degré de l’équation , nous l’appliquerons à une équation d’un degré défini , pour que les calculs deviennent plus simples.

Soit — a un diviseur du dernier terme de l’équation ,

x*+Ax s ~t-Bz'+Cx-\-D=o :

si — a est, en même temps, racine de cette équation, on aura l’identité (370)

x* 4 - Ax 5 - 4 - Bx * -+- Cx 4 - D —

(ar-+-a)[x * -\-Âx' -4- R x+ C] ;

faisant la multiplication indiquée dans le second membre , et égalant les coéfficiens des mêmes puissances de x (Chap. XX), on aura

D=aC C — C+aB B==R+aA' A = A'-\-a

d’où l’on

tire

comme les coéfficiens A , B , C , sont nécessairement des nombres entiers (a6o) , on conclut des valeurs ci-dessus de C , B , À , que les divisions D C — C B— B . .

— , • , — , doivent se faire exactement ;

mais ces conditions ne suffisent pas, il faut de plus

que le quotient — soit l'unité positive.

En appliquant cette analyse à une équation d’un degré quelconque m , on est conduit à cette règle pour reconnaître si un nombre a , diviseur du dernier terme , est , en même temps , racine de ? équation : après avoir divisé ce dernier terme par a, on retranchera le quotient du coefficient de T avant - dernier terme , et la différence devra se diviser par a ; on soustraira le quotient du coefficient de 1 antépénultième terme , et on aura une différence qui devra être divisible par a et ainsi de suite : il faudra de plus que la différence entre le coèfficient du second terme de la proposée et celui du second terme du polynôme quotient , divisée par a , soit V unité positive. Si toutes ces conditions ne sont pas satisfaites , le nombre a doit être rejeté.

On observera que cette analyse fait connaître le. quotient de la division de X , qui désigne le premier membre de la proposée, par l'inconnue moins la racine.

On peut s’assurer , comme il suit , que toute racine vérifie effectivement, ces conditions. Soient — a , — b , — c, — d les racines de la proposée ci-dessus : d’après la composition des coéfficiens en racines (273)., on a

D—abcd

C = abc-\-abdy-acd-\-hcd b—ab-yac-\-adf-bc-\-bd-\-cd

C— - =bcd a

—bc-\-bd-\-cd

ÉLÉMESS D'ALGÈBRE. 439

Si de la dernière des relations (3f ) , on tire la valeur de A' pour la substituer dans l’avant-dernière, de celle-ci la valeur de B pour la substituer dans la précédente, de celle-ci la valeur de C pour la substituer dans la première , on obtiendra pour résultat

a* — Aa'+Ba' — Ca+D=o,

qui n’est que la proposée, en remplaçant x par — a, d’où l’on conclut que — a est racine de la proposée.

L’équation

x 3 — ax* — i3x+6 = o,

donne pour diviseurs du dernier terme , 1 , a , 3 , 6 , — 1» — a, — 3, — 6, et on trouve que -4-3 est le seul qui satisfasse aux conditions correspondantes

on a donc

x 3 — ax ’ — 1 3x + 6 = (x-4- 3)(x * — 5x-|- a) = o.

. L’équation

5x 3 -4-ax — 1739 = 0

a pour transformée (a8o)

j^ 3 4- roj— 43aa5 = o,

dont la seule racine entière et positivé est y— 35,

d’où x = = -g- =7, nombre qui est le module

du système arithmétique dans lequel le nombre

44o CHAPITRE XXVI.

1730, écrit dans le système décimal, est traduit par 5oai (108).

3 1 5. C’est ici le lieu de faire connaître la méthode de M. Budan , qui, d’après Lagrange , ( Résolution des équat. numér. Note Flll'), ne laisse rien à désirer sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles : on reconnaîtra qu’elle s’applique sur-tout avec le plus grand succès à la recherche des racines entières. Nous allons d’abord établir l’algorithme qui sert de fondement à la nouvelle méthode.

Supposons la possibilité de cette transformation

ax'+bx'+cx-\-d = A{x — ny+B(x — n)' +

C(x — ri)+D,

a , b , c , d , n étant des nombres donnés , et A, B, C, D, des coéfticiens inconnus à déterminer d’après la condition que l’identité précédente ait lieu. Après les opérations effectuées dans le second membre, on trouve

ax* -\-bx' -\-cx-\-d=Ax l — 3 An

x'~\-ZAn

x — An * -t-Zto* — Cn

égalant les coéfficiens des mêmes puissances de x , on a ces déterminations

A=a, B=3an+b , C=3an'+*bn+c, D=an'+ bn' + cn+d",

si l’on veut que la transformée procède suivant les puissances décroissantes de x — 1 , on aura n=i et

A=a , B—3a-bb, C=3a-t-2&-t-c; D=zat-b+c-*-d.

Examinons le mode de composition de ces coéfficiens. Si on écrit sur une ligne ceux de la proposée, savoir :

et qu’on fasse les sommes successives du premier , des deux, trois, premiers, et enfin des quatre, on aura cette suite de sommes premières

dont la dernière est D, c’est-à-dire, le terme tout connu de la transformée en x — i. Si on fait la somme d’une , de deux et enfin de trois de ces sommes premières , on obtiendra ces sommes secondes

a, ia-{-b , 3a-t-a4-t-c,

dont la dernière est C, c’est-à-dire, le coefficient ♦ de x — i. Faisant la somme de la première et celle des deux premières de ces sommes secondes , on aura ces sommes troisièmes.

dont la dernière est B, coéfficient de x — i. Enfin la somme de la première de ces sommes troisièmes, que nous appellerons somme quatrième, est a— A coéfficient de (x — i) 3 .

Ayant ainsi formé les coéfficient A, B, C, D de la transformée en x — i , si l’on pose x — i ==/> cette transformée deviendra

A y' -+- By' •+• Cy -+- D = o ,

et on en déduira de la même manière la transformée en y — i , que nous représenterons par

A'(y—i)>+B'(y—i)-+C(y—i) + ir =A(x—») , -t-B'(x — — a)-f- ZX,

44 a CHAPITRE XXVI.

A\ B , C, D' étant des coéfficiens qu’on sait calculer. On passera de la même manière à la transformée en ® — 3 , et ainsi de suite.

. S’il manque dans le polynôme un ou plusieurs termes, il faut préliminairement les restituer sous les coéfficiens zéro, afin de pouvoir former les coéfficiens des transformées, d’après l’algorithme établi.

Appliquons cette méthode à l’équation,

x* — to® 5 -+■ 36 ®* — 54 # 27=0 :

on trouve pour transformée en x. — ï,

(x — 1)* — 6(® — 1 )’ -t- ia(® — 1)* — 8 (® — i)=o,

qui met en évidence la racine x = 1 : la division par x — ï donne

(® — ï) 1 — 6(® — i)*-f-ia(® — 1) — 8 = 0 :

posant ® — i—J et calculant les transformées en jr — i, y — 2 qui seront en ® — 2, x — 3 , on trouvera,

dont la dernière montre que la racine 3 est triple, c'est-à-dire, que la proposée est trois fois divisible par x — 3 : elle a donc une racine + 1 et trois racines -H 3 .

À l’égard de l’équation,

toutes les transformées jusqua x — 4 inclusivement, conserveront le terme tout connu et il en sera de même de la transformée en x — 5 ; mais celle-ci

ayant tous ses coéfficiens positifs, il devient inutile d’en calculer au-delà. Cependant au défaut de racines entières positives , la proposée peut admettre des racines entières négatives : pout les obtenir , il faudra rendre ces racines positives, ce qu’on fera par le changement de x en — x dans la proposée (a83) : par-là l’équation devient,

x 3 -+• mt* — 1 3a; — 6 = o,

et on en déduit les transformées,

la dernière manquant du terme tout connu , donne x—3, et conséquemment la proposée a pour racine x— — 3, trouvée (3 1 4)*

Ainsi lorsque la proposée comporte des racines entières, on est nécessairement conduit à des transformées qui manquent du terme tout connu. Dans le cas d'une racine multiple, la transformée en x, moins cette racine, manque d’un nombre des derniers termes, marqué par le degré de multiplicité de celte racine.

3i6. Voyez le chapitre trente -deuxième de cette ouvrage, où l’on expose la méthode due à Newton, pour trouver les racines entières des équations numériques.

MÉTHODE POUR RECONNAÎTRE LA PRÉSENCE ET LE DEGRÉ DE MULTIPLICITÉ DES RACINES RÉELLES ÉGALES, TANT COMMENSURABLES Qu’lNCOMMENSURABLES DES ÉQUA- TIONS NUMÉRIQUES.

317. Ces racines réelles et égales forment la seconde des trois espèces que nous avons distinguées ( 3 ia) : l’objet qu’on a en vue dans ce chapitre, est d’assigner non -seulement chacune des racines qui se repète, mais encore le nombre de fois qu’elle est répétée. Nous nous proposerons même de ramener la recherche de ces racines égales, à celle des racines inégales commensurables et incommensurables , en décomposant l’équation proposée eu deux équations séparées, dont l’une résulte du produit des facteurs multiples élevés chacun à la première puissance, et l’autre soit le produit des facteurs inégaux : nous irons même jusqu’à partager la proposée en équations telles que Q = o, R=o> S— o etc., Q étant le produit des facteurs dont chacun est double dans l’équation donnée, R celui des facteurs dont chacun est triple dans la même et ainsi de suite, et en une autre équation formée du produit des facteurs inégaux de la proposée.

3 18. Soit l’équation,

x m — j4x m ~ l -+- Rx m —' 1 — Tx -+■ V ■=■ o (M)

générale et complète , admettant des racines égales :

il peut arriver et on doit généralement supposer que ces racines forment diflérens groupes, c’est-àdire, "“que les unes répètent la racine a, les autres repètent la racine g, les autres la racine / et ainsi de suite.

Mais d’abord nous ne supposerons qu’un seul groupe de racines égales entr’elles et chacune égale à a : il s’agit d’assigner sa valeur et le nombre de fois qu’elle est repétée.

Dans l’équation (A/)., la lettre x représente l’une quelconque des racines : soit x une autre racine aussi quelconque de cette équation et posons

' . x —X -H u , 'd’où u= x — x:

u représentera donc toutes les différences entre toutes les jacines de la proposée , différences qu’on déduira de la formule x — x , en écrivant d’abord successivement pour x * les racines a, b , c, d etc., en nombre m , puis pour x successivement chacune des mêmes racines a, b, c etc., dans

u = a — x' , —b — x , =c — x etc.,

ce qui donnera, en total, m(rn — -i) différences u , nombre égal à celui des arrangemens deux à deux qu’on peut faire avec m lettres (*).

Dans la question actuelle, nous prendrons pour x la racine qui se répète , a , par exemple , en sorte que nous n’aurons à considérer que les différences

u — a — a, =b — a, =c — a, ~d — a, etc.,

C) En effet , en interposant le signe — entre le* deux lettres dont se compose chacun de ces arrangemens, ou forme toutes les différences en question.

en nombre m, dont la première est nulle d’ellemême : si maintenant on suppose b = a , ce qui revient à dire que la racine a est -double , on aura une seconde différence u = o : si de plus, on suppose c=a, et alors a est une racine triple, on aura une troisième différence u = o, et ainsi de suite. Ainsi le nombre des différences u = o, est précisément égal au degré de multiplicité de la racine qui se répète. Examinons maintenant les conséquences qui résultent des hypothèses ci-dessus, et, à cet effet, calculons la transformée qui résulte de (Af), en remplaçant x par x' -+- u. Cette transformée ordonnée suivent les puissances ascendantes de «, est de la forme,

X+Yu + Zu’-4-Ru’-t- +u' n =o.. .. (N),

où X, Y, Z etc. sont des fonctions de x, telles que

X = Xm — Ax' m ~ , +Bx' m ~* -+- — Tx'H-V ,

Y — — {m — i)Ax' m — 1l -\-(m — i)Bx' m — 3

Z = — x m — 1 — — Ax : v

etc :

ces coéfficiens X, Y, X etc. dérivent de la proposée et les uns des autres suivant un mode uniforme que nous allons faire connaître : i° le coéfficient X répète la proposée en changeant dans celle-ci x eu x ; a° le coéfficient Y dérive de X, en écrivant dans chaque terme de X, l’exposant de x en coéfficient, et diminuant ce même exposant d’une unité; 3° le coéfli-

cient Z dérive de Y, en écrivant dans chaque terme de Y , l’exposant de x en coéfficient , diminuant cet exposant d'une unité, et divisant chaque terme par 2 : 4° le coéfficient suivant U dérive de Z, en écrivant toujours dans Z l’exposant de x' en coéfficient, diminuant cet exposant de x' d’une unité, puis divisant ‘chaque terme par 3, et ainsi de suite, ce qui est la loi même de formation des termes successifs du développement de ( x -+- à) m .

On a d’abord X=o, dans toute la généralité de x ' , en sorte que la transformée (A) devient

«[Y-t-Z«-t-Ru’-+- ‘]=o,

d’où l’on conclut u = o, puis

Y+Z«+Ru’+ -H «"-« = o...(A):

cette racine u = o représente la différence a — a’ qui est nulle indépendamment de toute égalité de racines, conclusion qu’il faut retenir.

Introduisons maintenant la condition d’égalité de deux racines , et, à cet effet, supposons b — a : alors l’équation (iV) admet une seconde racine u = o, ou bien l’équation ( N ') admet une racine u = o , laquelle donne Y = o. Donc lorsque la proposée ( M ) comporte deux racines égales, on a en même temps ces deux conséquences

Par là l’équation (N') devient

«[Z-t-Ru-t- etc. H- >]=£»

d’où on conclut a = o et

la racine «=o représente b — a=o pour b— a.

Qu’on suppose de plus c=a, c’est-à-dire, trois racines égales, ce qui revient à supposer trois racines u = o dans (N), ou une racine u = o dans (IV") : cette équation donnera Z — o. D’où l’on conclut que l’existence de trois racines égales, entrain» ces trois conséquences,

X=o, Y = o, Z=o, et ainsi de suite.

Donc en supposant x'—a , a étant une racine double, les deux polynômes X et Y deviennent nuis à la fois, ce qui ne peut arriver que par ce qu’ils ont pour facteur commun x — la racine double : dans la même racine hypothèse sur x et en supposant que a soit une racine triple, les trois polynômes devenant X, Y, Z nuis, il faut en conclure que x — a est un facteur commun à ces trois polynômes et ainsi de suite.

3 19 . On est donc conduit à cette règle pour reconnaître si une équation comporte n racines égales entr’elles , ou un facteur de la forme ( x — a) n : formez les polynômes X, Y, Z, U etc., et cherchez s'ils admettent un plus grand commun diviseur dépendant de x : s'il en existe un entre n de ces polynômes , en 1 égalant à zéro , on aura la racine qui se repète n fois. Dans le cas contraire, la proposée ri admettra pas de racines égales.

3ao. Soit g une racine différente de a, qui se répète n fois, n étant < n; on prouvera de la même manière que ri des derniers polynômes X, Y, Z, U etc. , prendront un plus grand commun diviseur ' ou un facteur commun x — g : et comme x: — a,

a' — g sont des binômes premiers entr’eux, il s’ensuit que les ri derniers coéfficiens de la transformée en k, en y comprenant X, auront pour facteur commun ( x — a ) [x — g). De même si la proposée contient ri' racines égales entr’elles et égales à /, en supposant ri' < ri, les ri' derniers coéfficiens de 1 équation en u, auront pour facteur commun entr’eux et avec la proposée ( x' — a) (x' — g) (x — 1 ), et ainsi de suite.

3 a 1. Il s’agit maintenant de prouver que si les n derniers polynômes X, Y, Z, etc., de la transformée eu u, ont un facteur commun du premier degré, tel que x' — a, ce facteur est élevé à la puissance n , dans le polynôme X qui est le premier membre' de la proposée.

Si les polynômes consécutifs en x', que nous remplacerons par x, et qui forment les derniers coéfficiens X , Y, Z, etc. , de l’équation Yen u, ont un diviseur commun entr’eux, diviseur dépendant dex\ chaque facteur du premier degré en x de ce diviseur, le sera aussi de la proposée et correspondra à une de ses racines; et comme de cette transformée en u , on déduit n — r racines égales à zéro pour n de ces derniers coéfficiens qui deviennent nuis par x = a, il faut conclure que la proposée X=o, aura autant de racines plus une égales à a, et qu’ainsi elle comportera le facteur (x — a) a . Pareillement si x — g se trouve facteur dans le commun diviseur de X et de ri — 1 derniers coéfficiens de la transformée en u, on prouvera que X est divisible par (x — gY , et ainsi de suite.

Il reste à assigner la puissance à laquelle chacun des facteurs multiples est élevé dans les polynômes

/,5o CHAPITRE XXVU.

successifs Y, Z, etc.; c’est ce qui résulte immédiatement de la composition connue des coéfficiens en racines ( Chap. XXII ). Nous rappellerons que les racines de la transformée en «, sont a — x , b — x', c — a?', etc. : donc X, dernier coéfficient de cette transformée, est le produit de tous ces facteurs en nombre m , tandis que Y est la somme des produits f différens de ces m facteurs pris m — i à m — i ; en sorte que chaque facteur multiple de la proposée, se trouve dans Y à une puissance moindre d’une unité que dans X; d’où il suit que Y aura pour diviseur commun avec X, le produit des facteurs égaux de la proposée, élevés chacun à une puissance moindre d’nne unité que dans celle-ci : de plus ce commun diviseur ne sera pas plus grand que ce produit; et par conséquent le plus grand commun diviseur, entre X ’et Y, est et ne peut être que le produit des facteurs égaux, élevés chacun à une puissance moindre d’une unité que dans l’équation en x. Le polynôme Z étant dérivé de Y comme Y l’est de X, le plus grand commun diviseur, entre Y et Z , est et ne peut être que le produit des facteurs égaux de Y , élevés à une puissance moindre d’une unité , et par conséquent ce diviseur n’aura pour facteur avec la proposée , que le produit des facteurs égaux de celle - ci , élevés chacun à une puissance moindre de deux unités.

La continuation de ce raisonnement fait connaître que chacun des exposans des facteurs égaux , est diminué d’une unité d’un polynôme au suivant , jusqu^au dernier qui n’a de diviseur commun avec les autres, que le facteur simple qui se trouve répété le plus de fois dans l’équation en x. Il est nécessaire d’observer que les facteurs inégaux de la proposée, ne peuvent entrer dans le commun

diviseur D entre X et Y, dans le commun diviseur D' entre D et Z, etc.

3 aa. Pour qu’il ne reste aucune difficulté sur ce qui précède, prenons une équation d’un degré défini, savoir, la suivante qui est du onzième degré,

en remplaçant .r par x'+u, on aura ’

[(*'—<*) H- u \*[{x—b) + «] 5 [(.r'— c) + u}\(x'—d) n] K*'—*) + u}= X + Y u + Z«’ + etc 0 (M).

D’abord

*=(x'—a)\x—b)Xx'—c)\x'—d)(x'—e).

En second lieu, Y étant la somme des produits des seconds termes de (M) 10 à 10, d’où il résulte que chacun de ces seconds termes manquera successivement une fois, on aura

Y r= 4 (x‘ a)\x —b)\x' —c)'{x'—cr)(x'—e)

+ ï{x—a)\x—by(jc'— c y(x'—dyx'~e)

Le polynôme Z étant la somme des produits différens 9 à 9 des mêmes seconds termes, si, pour abréger , on désigne les coéfficiens numériques par les lettres p, q, r, on aura

Z=p(x'—a)\x'—by {x — c)‘(x' — d)(x—e)

-+- etc.

+ q{x'—a')Xx'—b) ( x'—c ) ’ (x'—d)(x'—e)

-f- etc. I