etc

A la seule inspection de ces résultats , on reconnaît que le plus grand commun diviseur entre les quatre derniers polynômes X, Y, Z et U, sera D=x' — a; que celui des trois derniers polynômes X, Y et Z, sera D'=(x — — &):que celui des deux derniers polynômes X et Y, sera

IX'=(a:' — a)' (x — b)' {x — c) :

si donc on pose D = o , on en tirera la racine quadruple : divisant IT par (x — à)‘ et posant le quotient Q = o , on déduira de cette équation, la racine triple x = b; divisant D" par (x — a) 1 (x — b)‘ et posant le quotient Q'=o, on en conclura la racine c qui est double.

I,es racines incommensurables égales sont fournies par des diviseurs de degrés élevés.

3a3. Nous avons annoncé (3»7), la décomposition de la proposée en deux équations dont l’une ne rcn-

ferme plus que les racines égales de la proposée, répétées chacune une fois, et l’autre ses racines inégales.

En partant de cette équation

et faisant toujours la substitution x=:x'+«, on a

et en désignant par D le plus grand commun diviseur entre les polynômes X et Y, il vient d’être démontré que

D=(x' — à) n — l {pc ’ — by~ l (x — c)*" 1 ;

, divisant X par D et désignant le quotient par Q, on obtient

le plus grand commun diviseur entre D et Q, est

divisant Q par D' et désignant le quotient par Q', on a

En sorte que des deux équations D r=o,Q'=o,

qui n’ont que des racines inégales, la première donnera les racines multiples , et la seconde les racines inégales de la proposée.

On peut même remplacer l’équation D=o par d’autres équations telles que

Q=o, R=o, S=o, etc.

Q étant le produit- des facteurs dont chacun est double dans la proposée, Il celui des facteurs dont chacun est triple dans la proposée, etc. A cet effet, soit

X=P.Q*.R 1 .S*.T 5 , etc.

P étant le produit des facteurs simples : on sait que la dérivée Y de X est composée d’une série de produits, dans lesquels les exposans dés facteurs de X sont alternativement diminués d’une unité; d’où il résulte, sans la calculer, que le plus grand commun diviseur X' entre X et Y, est

X=Q.R\S\T 4 ,etc.

En continuant de cette manière aussi long -temps qu’on n’obtiendra pas une dérivée égale à l’unité, on trouvera

P Q R J S* T 5 etc. = X Q R’S’T* etc. = X'

R S 1 T’ etc. = X"

S T’ etc. = X”

T etc. = X"".

On tire de là

PQRSTetc. = |, QRST etc. = ^, ,

RST etc. = 5, t , , ST etc. = ~ , etc.

et en divisant ces formules l’une par l’autre , consécutivement, on a

p XX' XX' X".X""

résultats dont la loi de composition est évidente.

Faisons une application à l’équation

X = x 9 -f- ax 1 4- x 7 + 6x 6 -+- ix’ — ax 4 -f- 3 x s -t-ax’ — iax — 8 = 0 :

on a (3i8)

Y = 9 x* -+- i 6x’ -+- "jx 6 -f- 36x 5 h- 35a 4 —

8a + — ia :

d’où on conclut

la dérivée de X' est =.\x l 4- 3x’4-ax4-3,

et on a

la dérivée de X" est = i , et on a

X ut

la dérivée de X'" étant zéro, l’opération est terminée. On a donc

P== jr'-t-a — a, Q = x’ — x 4- a., R=a-t - 1 ; et conséquemment

3a4- Nous ferons quelques remarques qui peuvent être utiles, quoiqu’elles n’apportent aucune modification à la méthode.

Soit l’équation

X = 3x s — iox 3 4- i6x 4-8 = 0

qui a pour facteur multiple (x-t-i) 3 : la première dérivée est

Y =z* — ax*4 - 1

qui, outre le facteur (® + 1 )’, contient encore (a? — i)’;

en sorte que le diviseur commun des deux premières dérivées Y et Z, sera (x-4-i) (x — r), dont le dernier facteur est étranger à la proposée.

L’équation

X = jc 5 — ax 4 — 6x* -+-4®’+ 1 3a: -f-6 = o,

dont un des facteurs est (x-4-i)’ et un autre x — a, a pour seconde dérivée

5x’ — 6 jc* — gx-4- a ,

laquelle est divisible par x+ 1 et par x — a, et cependant le facteur x — a n’entre pas dans la première dérivée, puisqu’il n’est qu’au premier degré dans l’équation primitive : ce facteur ne se produit qu’accidentellement dans la seconde dérivée.

Soit enfin l’équation

X = x 5 — 3x‘-4-ax* -4-ax’ — 3x-4- 8=0 qui n’a pas de racines égales : sa première dérivée Y=5x‘ — iax’ -|-6x’ + l\x — 3 a , pour l’un de ses facteurs ( x — 1 )\

3a5. On peut i° composer une équation qui admette des racines égales données; a° assigner les conditions d’où dépend l’existence de plusieurs racines égales dans une équation.

10 . Qu’il s’agisse d’introduire dans une équation la racine triple — 1 et la racine double - 4 - 1 ; cette équation devra s’élever, au moins,. au cinquième degré : supposons-la du sixième, et soit

X = x 6 -t- Ax 5 -4- Bx* -4-Cx’ -4-Dx' -4- Ex -4- F = 0 , les coéfficiens étant indéterminés : on a les dérivées

Y=6x s -4-5Ax‘-4-4Bx j -4- 3Cx* -4- aDx-f-E

Z=i5* 4 -4-ioAx*-4-6Bx -4-3Cx+D,

or, l’hypothèse x = — i faite dans ces trois équations et celle-cia;= i faite dans les deux premières, donnent cinq équations qui conduisent à ces déterminations

D=t — aF, E = i -t-F,

et conséquemment à l’équation

X = x 6 -t-(i -t-F)r*+(F — a )x* — a(i + F)z’ -+- (i — aF)x* -4-(i -t-F)x-hF=o

ayant pour facteur (x-4-i)’(x — i)\ Si l’on fait F=a, cette équation qui deviendra

admettra en sus la racine x— — a, c’est-à-dire, le facteur x -I- a.

a°. Soit l’équation

X=x' +px-k-q—o, on forme la dérivée

et en opérant sur ces deux polynômes Y et X, comme pour en trouver le plus grand commun diviseur, ainsi que le prescrit la méthode, on est conduit à un reste indépendant de x, qui est l\p l : légalité à zéro de ce reste, donne

' —El — ïl

pour condition d’égalité de deux racines dans l’équation du troisième degré.

L’existence de trois racines égales pour l’équation ‘

X*+px' -\-qX-\-r—o,

dépendrait de deux conditions : en effet , la possibilité d’un commun diviseur entre X et Y exige une condition, et celle d’un commun diviseur entre celui-ci et le polynôme Z en exige une seconde.

3a6. On peut encore ramener la recherche des racines commensurables égales à celles des racines commensurables inégales. Un seul exemple suffira pour bien faire entendre la chose.

Soit l’équation

X = x* — 'jx' — ix 6 -\- 1 i8x s — a5g x 4 —

83a: 5 4- 6iax’ — io8x — 43a = o :

on trouvera , d’après les méthodes exposées ( Chap. XXII ) , que les racines commensurables inégales de cette équation sont — r^ + 3,4- 3, — 4, de sorte que la proposée revient à celle-ci

(x 4- i)(x — a) (x — 3 ) (x 4- 4) (ir 4 — ’jx 3 4i3x’ 4 - 3x — i 8) = o,

et il reste à chercher les racines de l’équation

en observant que si elle eu admet de commensurables, elles ne peuvent plus être que des racines de (.r4-i)(x — a)(x — 3)(x4-4)— ^ — i5af-f-iox 4-a4 : or, le plus grand commun diviseur entre x* — 7X 3 4i3x’4-3x — 1,8 et x * — i5jc > 4-iox4-a4,estx* — /|X’4x4-6— fx4-i)(® — a)(x— 3), et comme le quotient de x* — 7x 1 4 - i5x*4-3x — 18 parx’ — 4 x> -f* x ~*'6!< estx — 3, on en conclut la décomposition

337. Toute équation dont le dernier terme et le coéfficient de l’avant-dernier sont des nombres pre-

ÈLÉMENS D'ALGÈBRE. 45g

miers entr’eux , ne peut évidemment comporter de racines égales : en effet , la proposée ayant n raéines égales entr’elles, et chacune égale à a, le dernier terme est divisible par a" , et le coéfficient de l’avant-dernier, l’est par a*— 1 , ce qui résulte de la composition connue des coéfficiens en racines : ainsi ces deux termes auront pour diviseur commun la racine a qui se répète n fois ; ils pourront en avoir d’autres; mais comme l’existence d’un tel diviseur peut encore avoir lieu , lors même que toutes les racines sont inégales, on doit conclure que la réciproque n’a pas lieu. En général, si une équation comporte, comme nous venons de le supposer, n racines égales A a , le coéfficient du n èmt terme , à partir du dernier, sera divisible par a , celui du ( n — i Y mt terme, le sera par a’, celui du (n — i) imc terme le sera par a 3 , et ainsi de suite. 11 résulte de ces observations qne les équations binômes, c’est-à-dire, de la forme x m ± a m , ne peuvent comporter de racines égales.

MÉTHODE POUR OBTENIR AVEC DITE PREMIÈRE APPROXIMA- TION, LES RACINES INCOMMENSURABLES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

3a8. Les racines incommensurables ont été placées dans la troisième classe (3ia) : elles se composent i° d’une partie entière, a° d’une fraction décimale infinie , qui est la partie incommensurable. Dans ce chapitre, il ne sera question que de la partie entière, et la méthode qui sert à la

trouver, pourra, dans quelques cas, faire connaître une partie de l’approximation. Comme on sait changer les racines positives en négatives et récipro- , quement (a83) , nous ne considérerons que les racines positives ; d’abord nous les intercepterons entre deux limites, l’une plus grande que la plus grande des racines positives et que nous nomme- . rons limite supérieure , l’autre plus petite que la plus petite de ces racines, et que nous nommerons limite inférieure ; puis ayant prouvé que deux nombres, qui substitués pour x dans la proposée, donnent des résultats de signes contraires, interceptent des racines réelles, nous rechercherons l’intervalle à mettre entre les substitutions depuis la limite inférieure jusqu’à la limite supérieure, pour que les couples de résultats numériques de signes contraires qu’elles fourniront , soient précisément en même nombre que les racines réelles positives, parce que les deux substitutions correspondantes ne comprenant plus qu’une racine, la plus petite sera déjà une portion de cette racine. Tels sont l’esprit et le but de la théorie que nous allons exposer.

329 . Nous commencerons par la résolution de ces trois questions i° étant donné un polynôme ,

X=x“ — Ax m — '-+-Bx m — 2 Tx t-V,

assigner pour x un nombre qui rende le premier terme plus grand que la somme des suivons : a° assigner pour x un nombre qui dorme un résultat numérique de même signe que le premier terme : 3° assigner pour x dans V équation X=o, un nombre qui donne un résultat positif , et tel que tous les nombres plus grands donnent des résultats positifs.

i». Pour se placer dans le cas le plus défavorable, et assurer conséquemment la substitution à faire , on supposera que tous les termes qui suivent le premier, aient le même signe, soit •+• soit — , et que chacun des coéfficiens soit égal au plus grand, pris abstraction faite de son signe, et que nous désignerons par S; en sorte qu’on ait à résoudre la question par rapport au polynôme

x m ±S(x m — *+x m — 1 4-x w—3 -t- -Hx-fr-i),

C’est-à-dire à satisfaire à l’inégalité

x m > S[x m — ‘-hx®—*-*- 4-x-t-i] :

or, en observant que le facteur, entre parenthèses, est une suite par quotiens égaux qu’on sait sommer (Cbap. XV), on aura celle-ci

mais cette inégalité aura évidemment lieu par la valeur de x qui rendra

x m — S X , d’où x=S-W (a):

d’où on conclut que la valeur de x, propre à rendre le premier terme d’un polynôme , supérieur à la somme des suivons , est le plus grand des coéfficiens, pris absolument , c'est-à-dire , sans signe et augmenté de l'unité.

Cette valeur x=S+i substitué dans

x m — Sx™-! — Sx m — a — Sx — S ,

donne le résultat + 1 : en effet ,•

donc

ainsi le polynôme précédent devient

— Sx’»-*— Sx*-» — Sx" 1 - 3 — Sx— S,

et il se réduit à +i par x — i=S. Cette analyse sert eucore à faire découvrir la valeur de x propre à satisfaire à l'énoncé.

a°. Raisonnons sur un exemple particulier , et prenons le suivant

il est clair que ce polynôme deviendra positif par toute valeur de x qui rendra x i > 3z*+8x et , à plus forte raison, pour toute valeur de x pour laquelle on aurait

x s > 8xM-8x 3 +8x+8 ,

valeur qui sera beaucoup moindre que celle qui est propre* à rendre

ÉLÉMEÎÎS D’ALGEBRE. 463

et qui serait requise par la première question. Passons au polynôme

après l’avoir mis sous la forme

— (x 5 -+- 3x 4 — 1 7 a 8a: 3 4- 8x — 4) , on aura à satisfaire à la condition

la même que celle à laquelle on serait conduit par la première question. Mais par rapport au polynôme

— x 5 4-3x 4 — 1 7a8x 3 4-8x — 4 > qui revient à

il suffirait de satisfaire à l’inégalité x 5 > 8 (o^4-x 3 4-x4-i).

3°. Passons à la troisième question. Si le polynôme X est de la forme x m — Ax m — 1 ... — Tx-t-V, c’est-à-dire, si le second terme est négatif, on supposera tous les termes affectés du signe — et du plus grand des coéfficiens négatifs , que nous désignerons encore par S; en sorte que le nombre cherché sera encore x = S4- 1. Mais si le premier des termes négatifs est , par exemple , celui de x m ~ * , on supposera que tous les termes, à partir de celuilà inclusivement, deviennent négatifs, et qu’ils soient affectés du plus grand des coéfficiens de ce signe , que nous désignerons toujours par S. On aura donc à satisfaire à l’inégalité

ou à celle-ci

„ fX m — n 1\

en sommant le facteur entre parenthèses : or , il suffit , à cet effet , de trouver pour x une valeur telle qu’on ait

> = Sx , d’où j " -1 = — — :

faisant maintenant x — i=k, d’où x = Æ-+-i, cette inégalité devient

il est évident qu’en posant le premier terme /'*=S, le premier membre sera plus grand que le second, et qu’ainsi les inégalités précédentes seront satisfaites, à fortiori, par la valeur dex déduite de /f°=S, et qui est

Lorsque le second terme est le premier des termes négatifs , on a

n— r et x= 14- l/S= i -+-S,

et on retombe alors sur la détermination (a).

On reconnaîtra sur l’équation

que le nombre 4 » par exemple , substitué pour x , rend le premier membre positif, puisqu’il donne le résultat -+-1 , mais que le nombre 5 , quoique supérieur, donne le résultat — 1 : qu’ainsi il ne suffit pas qu’un nombre écrit en place de x , fournisse un résultat positif, pour qu’on puisse affirmer que tout nombre plus grand donnerait un pareil résultat : il faut de plus que ce nombre rende le pre-

mier terme supérieur à ia somme des termes négatifs.

Puisqu'une équation ne peut être satisfaite, lors*

que pour x on écrit S-t- i, ou i l/S, et touî les nombres positifs, indéfiniment plus grands, nécessairement ses racines réelles positives doivent être

plus petites que S-M ou que 1 + l/S: donc l’un ou l’autre de ces nombres est plus grand que la plus grande racine positive et il reçoit de cette propriété la dénomination de limite supérieure des racines ; il est bien entendu qu’il ne s’agit ici que des racines positives.

Cherchons la limite inférieure des mêmes racines, c’est-à-dire, un nombre plus petit que la plus petite de ces racines. A cet effet, de l’équation

x m AiT" 1 — 1 + Bx m — 2 — Tæ-hV = o,

en déduira une transformée , d’après» la relation

x = ~ (a85) : si l’on cherche la limite supérieure

des racines positives de la transformée en jr, et et qu’on l’écrive pour j- - dans la relation précédente,

le résultat ^ sera évidemment plus petit que la plus

petite racine positive x : cette limite inférieure sera

ou ~r , S' étant le plus grand des coéfi+l/S'

ficiens négatifs de l’équation en y, pris positivement, et r dépendant du rang du premier terme négatif.

On peut obtenir cette limite inférieure immédiatement en coéfficiens de l'équation donnée

j*n — kx m * 4- . . .4- P®"-"... . — Nx"»- r .. . . ±V=o:

la transformée déduite de x = - est

ym ■ • + ym-n- ym—r V — O,

multipliant par j™, et divisant par ±V, on trouve N

maintenant P et N étant les plus grands coéfficiens positif et négatif de la proposée, ceux de la transformée

seront + ÿ > — y P our + V, et 4- y , ■

P v pour — V:

ainsi, dans le premier cas, la limite inférieure des

racines positives sera , et , dans le

” cona '?iî=PTv'

33o. Ces limites supérieure et inférieure ne sont pas généralement aussi rapprochées qu’elles peuvent l’être, ce qui est un grave inconvénient : car plus l’espace entre ces limites est grand, plus il reste d’incertitude sur le lieu de chacune des racines positives ; plus il faut multiplier les substitutions à faire dans cette étendue, pour n’intercepter qu’une racine entre deux substitutions consécutives, et plus aussi il y a de ces substitutions inutiles, comme on le verra mieux par la suite. On obtiendra des limites aussi rapprochées qu’il est possible, au moyen de l’analyse suivante qui est due à Newton. Soit toujours l’équation

, ,v m — kx m ~ 1 . . . . -— Ta: 4- V =o :

ELÉMENS D’ALGÈBRE. 467

si l’on pose x = z + l , d’où z = a: — l, le nombre l étant indéterminé, les racines de la transformée en z seront toutes plus petites que celles de la proposée, de ce nombre l : si donc on détermine l par la condition que tous les termes de cette transformée ordonnée suivant z , aient le même signe , c’est-à-dire , le signe plus, cette équation en z ne pourra admettre que des racines négatives (a84), et par conséquent la valeur positive de l qui aura rempli cette condition, surpassera la plus grande racine positive a;. La transformée en z sera ( 3 i 8 ) de la forme

X 4- Yz + Zz’-+ Uz 3 -*-0 +z m = o ,

dans laquelle (idem)

\=l m — kl m ~ l a . . — T/-t- V

Z — BiÇw— 0 0(iw— • ,| s

Il s’agira donc de découvrir la valeur numérique de / propre à rendre tous ces polynômes positifs, en commençant ces essais sur le plus petit, remcfutant jusqu’au plus grand, et faisant croître l par des degrés rapprochés. Ce procédé qui, à la vérité, exige des tâtonnemens, étant appliqué à la transformée en y , donnera la limite inférieure.

Faisons une application à l’équation

-gx + 7- x ~~

la substitution x — z / donne

X=/>— 9 l'+pl-± y 49 49

et on trouve que tous ces polynômes deviennent positifs, pour /= 9, tandis que la formule S -f- 1 donnerait 9 -t- 1 = 10 (*).

33i. Nous énoncerons quelques remarques qui trouvent naturellement place ici. i°. Lorsque tous les termes de la proposée sont positifs, les limites supérieure et inférieure, déduites de ces formules

S4-1 etjçr 1 — , se réduisent à l’unité, c’est à-dire, qu’el-

les coincident : aussi , dans ce cas , la proposée ne peut-elle admettre de racines positives (284), si cependant elle en a de réelles : a° lorsqu’une équation n’a que des racines imaginaires, on peut bien assigner des limites, puisqu’il suffit pour cela qu’il y ait dans la proposée un terme négatif, auquel

cas la transformée, déduite de x =-, contient un tel

coéfficient ; donc de ce qu’il existe des limites de racines, on ne doit pas conclure que l’équation comporte des racines réelles : c’est une circonstance dont on peut s’assurer sur l'équation* du second degré qui peut admettre des racines imaginaires ,

(*) Voyez sur ce sujet un mémoire de M. Maiiière et une observation de M. Serres, tom. III des Annales de mathématiques; et dans le tom. VI, les démonstrations des deux théorèmes suivans, dus a M. Bret. Théor. I. En ajoutant successivement à r uni té une suite de fractions ayant pour numérateurs

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. /,6g

quoique le coéfficient du second terme soit négatif, (chap. XIX.) : 3» lorsqu’une équation ne renlerme que des puissances paires de l’inconnue , et que tous ses termes sont de même signe, c’està-dire , positifs , les limites des racines positives coincident, et il en est de même de celles des racines négatives, puisque le changement de - 4 - x en — x n’en apporte pas dans les signes de l’équation : les racines d’une telle équation n’étant ni positives, ni négatives, ne peuvent donc qu’être imaginaires, conclusion nécessaire, si l’on observe qu’une imaginaire ne peut être positive ni négative.

33a. Théorème I. Deux nombres qui substitués pour x dans le polynôme qui forme le premier membre d une équation dont le second est nid, donnent deux résul-

tés coefficient négatifs d'une équation proposée, pris positivement, et pour dénominateurs la somme de tous les coefficient positifs qui les précèdent respectivement , le plus grand des nombres résultans pourra être pris pour limite supérieure des racines de cette équation. Ainsi par rapport à l’équation

«.r’-t-éx* — ex’ — d^'-i-ex’ — fx' — gx'-\-hx' — kx-\-l=zo la limite supérienre sera la plus grande des fractions . c d f

a-\-b * a -r b * fl + o + < J • ' ,

ainsi par rapport à l’équation numérique

ax’ •+■ 1 jx‘ — iox 5 — a6x* 3 tx' + 71X’ — aîox — 348=0 la limite supérieure sera le plus grand des deux nombres

1 = 1 ■+■ — et 1 + = 1 + — ~ . c est-a

a+11 j 3 a + xi + 3 i + 7a x»°

tats de différais signes , interceptent, au moins, une

racine réelle.

Désignons par P la somme des termes positifs du polynôme X, et par Q celle des termes négatifs pris, abstraction faite du signe : la proposée sera abréviativement représentée par

soient p et q les deux nombres qui, écrits pour x, donnent des résultats — et 4 - , nombres que nous supposerons positifs ; que p soit le plus petit et

dire, (\ : en changeant x en — x, on a ponr transformée ax’ — ijx ‘ — iox ! -*- a6x* -*• 3ix’ — 7ax’ — a3ox+ 348=

qui a pour limite supérieure le plus grand des deux nombres

1 + — et 1 a

— - — = 1 + — . Cette limite est 7 : ainsi les 3t 5g

racines de la proposée, sont comprises entre 4 et

Théorème II. Si après avoir divisé successivement chacun des coefficient négatifs d’une équation par le coefficient du premier terme, on extrait de chaque quotient une racine dont le degré soit le nombre des termes positifs qui précèdent le coefficient négatif dont il s'agit, le plus grand des nombres qu’on obtiendra en augmentant chacune de ces racines d'une unité, pourra être pris pour la limite supérieure des racines de la proposée.

En appliquant cette règle à l’équation numérique ci-dessus, on trouvera pour limite des racines positives, le plus grand des

nombres, i «+■ v/ — } 1 + y/— ? j et ponr limite des racines

négatives 1 -*■ y/ — , 1 y/~ , c’est-à-dire , que ces limites

seront + 5 et — 7.

ÉLÉÎVtENS D’ALGEBRE. /, 7 i

donne le résultat — ; que q soit le plus grand et donne le résultat +; on aura dont pour x=p,

et, pour x = q,

il résulte de la forme des polynômes P et Q qui ne . contiennent que des puissances entières et absolues de x, que ces fonctions croîtront continuellement à mesure que x augmentera, et qu’en faisant augmenter x par des degrés très rapprochés, elles augmenteront aussi par des dégrés très rapprochés, mais de manière cependant que les accroissemens de P seront plus rapides que ceux de Q, puisque de plus petit qu’était le polynôme P, il devient plus grand que Q : donc le polynôme P aura coincidé avec le polynôme Q , et conséquemment entre les deux substitutions P et Q, il s’en trouvera nécessairement une qui donnera P=Q, c’est-à-dire,

cette substitution sera donc racine de l’équation. Si la racine interceptée est commensurable, cette coincidence aura lieu rigoureusement et réciproquement : si cette racine est irfcommensurable, la différence P— Q ' pourra être rendue aussi petite qu’on voudra. Quoi-

(*) On pourrait assimiler ces deux polynômes P et Q à deux mobiles assujettis à se mouvoir suivant une même direction, dans le même sens, et dont le moins avancé P dépasserait l’autre : nécessairement ces deux mobiles se rencontreraient. On a objecté contre cette démonstration qu'elle suppose la considération de quantités infiniment petites , qui est interdite dans celte partie

47a CHAPITRE XXVIII.

que les polynômes P et Q croissent continuellement, lorsqu’on passe de x=p à x = q par toutes les va>leurs intermédiaires , cependant on conçoit qu’ils peuvent coïncider plusieurs fois entre ces substitutions extrêmes, parce que P qui est supposé croître d’abord plus vite que Q, peut, à partir de la coincidence avec Q, croître moins rapidement et être de nouveau atteiut par le polynôme Q. C’est cette observation qui motive la restriction, au moins , énoncée dans le théorème.

des mathématiques ; mais il faut observer que cette considération a’ert déjà glissée plusieurs fois dans ce qui précède et qu’elle n’est pas radicalement exclue de la géométrie. Au reste il me semble que, dans cette partie de l'algèbre sur-tout , elle doit être employée sans scrupule, lorsqu'elle offre des abréviations.

Dans le IV volume des annales de mathématiques , M. Encontre, établit rigoureusement cette proposition sur les deux suivantes ,

1°. Étant donnés un polynôme Axm-f-Bxm— i-f- -t-Tx-t-V,

dont tous les termes sont positifs, et un nombre p qui substitué pour x , donne un résultat k , assigner un nombre p tel que la substitution p- 4 -p pour x dans ce même polynôme, donne .un résultat k et <^k-+-h, h étant une quantité positive donnée et aussi petite qu'on voudra.

Par exemple, le polynôme x 1 -f- 5 x’ - 4-4 x-f. u, pour x=4, donne le résultat 17a : si l'on demande pour x une autre valeur 4-|~p telle que le nouveau résultat soit^> 17a et 17J, on fera la substitution 4+ P pour x et on aura,

x'^’-t-î^’P-f-Mp’-t-p’

4 x= 4 - 4 -l- 4 P ia = ia; ’

le plus grand des coéfficiens des puissances de p dans la transformée i7a-+-9a{H-i7p*-t-p*, est évidemment 9a=S, en sorte

qu’il faut prendre P = j-^=^- ; donc /j-4-p=44-

Par exemple, l’équation,

x 3 — ax — 5 = o,

traitée par la méthode de M. Budan (3i5), donne ces transformées,

(x — a) 5 -l-6(x — a)’ -t- io(x-r-a) — i — o (x — 3 ) 3 + 9 (x — 3 ) * -t- a 5 (x — 3 ) + 16 = 0

en effet, le résultat de cette substitution dans le polynôme, eit 796840 . . h

1 ji -4~ fa/ 35 ' ’ Si on prend P < s -h ' A ’ 1 accrolsiemcnl du polynôme sera moindre et encore positif : M. Encontre démontre que cet accroissement est compris entre les limites, *

Sp 5 pm + i Sfr 5 'P<u+ 1

1—8 et t— P I— P '*

S’ désignant le plus petit des coéfficiens de p dans la transformée en p.

a°. Etant donnés deux polynômes,

P=Axm-4-Bini — i-f- -+-Tx 4 -V

Q=A'xn-f-B'xn- t -HTx-f-V'

dont tous les termes sont positifs , et de plus deux nombres p et q tels que le premier, étant substitué pour x dans l’un et l’autre a

polynômes , donne pour P un résultat plus petit que pour Q , et que le second pareillement substitué pour x, donne pour P un résultat plus grand que pour Q, trouver entre p et q un nombre qui , écrit pour x dans l'un et Vautre polynômes, donne pour P et Q deux résultats dont la différence soit moindre qu'une certaine quantité h, quelle que petite qu’on puisse la prendre.

Théorème. Si deux, nombres p et q, substitués successivement pour x dans le premier membre d'une équation, donnent des résultats de signes contraires, cette équation admettra une racine entre ces substitutions.

et corame les hypothèses x= 1 , æ =3 fournissent les résultats — i et +- 16 , on conolut avec certitude l’existence de quelques racines entre a et 3 .

333. Nous n’examinerons pas ici les cas où les substitutions, qui donnent des résultats de différens signes , auraient elles-mêmes des signes différens , ,

. ou toutes deux le signe moins; car nous n’aurons jamais occasion, dans ce qui suit, de faire de telles substitutions, puisque l’une d’elles ou toutes les deux sortiraient des limites qui comprennent les racines positives , et c’est seulement entre ces limites qu'on doit substituer pour reconnaître la présence et le nombre de ces racines.

334. Le but des substitutions à faire entre les limites supérieure et inférieure, étant d’obtenir précisément autant de couples de résultats de différens signes , que la proposée comporte de racines réelles

Soient P et Q ce» deux sommes prises , abstraction faite des signes : puisque p et q donnent des résultats de signes contraires, il faut que p rende P <C.Q et que q rende, au contraire, P^> Q. Mais nous venons de prouver qu’alors on peut toujours trouver entre p et q un nombre qui rende la différence P — Q moindre que toute quantité donnée : on peut donc toujours assigner entre p et q un nombre très approchant de la racine incommensurable.

M. Encontre démontre ensuite que si deux substitutions telles que — p et — q, ou •+-/> et — q donnent des résultats de signes contraires, elles intercepteront une racine comprise entre — p et — q dans le premier cas , et entre p et — q dans le second.

, Il est bon de remarquer que le problème a° fournirait au besoin une méthode d’approximation pour une racine dont on aurait déjà deux limites.

ELÉMENS D’ALGÈBRE. /, 7 5

positives, nous aurons à rechercher quel doit être l’intervalle à mettre entre ces substitutions pour satisfaire à cette condition : mais auparavant, et parce que cette recherche ne porte que sur les racines réelles, il sera bon de supposer l’équation décomposée en deux facteurs dont l’un ne donne que les racines réelles, et l’autre les racines imaginaires, et d’examiner, en particulier, l’influence des substitutions sur ce dernier polynôme.

335. Les racines réelles incommensurables, tant positives que négatives de la proposée, étant en nombre n , et représentées par a, b, c etc. , si on divise le premier membre de l’équation par le produit, des facteurs x — a, x — b , x — c etc., je dis qu’on aura pour quotient un polynôme du degré m — n, lequel ne deviendra jamais négatif, quelque valeur qu’on doqne à x: en effet, s’il existait un nombre ,qui , substitué pour x , rendît ce quotient qégatif, copnme on peut assigner une autre substitution qpi le rendrait positif (33o), c’est-à-dire, qui donnerait un résultat de même signe que son premier terme , on aurait donc deux substitutions qui donneraient des résultats de signes différens, et conséquemment la proposée admettrait encore, au moins , une racine réelle en sus de celles qu’on a supposées , ou , en d’autres termes , une . des racines imaginaires deviendrait réelle. Ce polynôme quotient ne doit donc jamais changer de signe par toutes les substitutions faites pour x , propriété qui nous servira dans la suite. Nous allons prouver que ce même polynôme sera de degré pair avec, un dernier terme positif, ce qui revient à faire voir que s’il était de degré impair avec un dernier terme soit positif, soit négatif, ou même

de degré pair avec un dernier terme négatif, il admettrait une ou plusieurs racines réelles. Ces propositions seront le sujet des théorèmes suivans.

336. Théorème II. Toute équation de degré impair , admet , au moins , une racine réelle de signe contraire à celui de son dernier terme, ou du terme tout connu.

Nous supposerons successivement le dernier terme négatif et positif: dans le premier cas, le nombre zéro et la limite supérieure des racines positives, substitués pour x, donnent des résultats de différens signes : la proposée admet donc (33a), au moins, une racine entre zéro et cette limite supérieure qui est un nombre positif, c’est-à-dire, une racine réelle positive. Dans le second cas, en changeant -{-x en — x , on aura une transformée dont le premier terme sera négatif, et dont toutes les racines positives seront les négatives de la proposée, et réciproquement : changeant ensuite tous ses signes, le premier terme deviendra positif et le dernier négatif; d’où l’on conclura pour cette transformée, au moins, une racine réelle positive, et pour la proposée au moins une racine réelle négative.

Théorème III. Toute équation de degré pair , dont le dernier terme est négatif , comporte , au moins , deux racines réelles , f une positive , ï autre négative.

En effet, pour x = o , l’équation se réduit au dernier terme qui , par hypothèse , est négatif; prenant ensuite pour x la limite supérieure des raciues positives , on obtient un résultat positif : doue la proposée admet , au moins , une racine réelle positive. Si l'on change dans la même équatiou le signe des puissances impaires, les racines négatives

ÈLÉMENS D’ALGÈBRE. 477

seront changées en racines positives ; mais d’ailleurs le premier et le dernier termes conserveront leurs signes primitifs ; donc , d’après ce qui vient d’être démontré , la transformée aura , au moins , une racine réelle positive , et la proposée , au moins , une racine réelle négative.

Lorsque l’équation de degré pair a son dernier terme positif, les substitutions précédemment employées donnent deux résultats de même signe , en sorte qu’on ne peut plus conclure nécessairement l’existence d’une racine réelle : cependant l’équation peut en admettre de telles , mais aussi elle peut ne comporter que des racines imaginaires , ainsi qu’on l’a déjà vu ( Chap. XIX ) à l'égard de celle - ci

x'+px+q=o , sous la relation

337. Les facteurs du premier degré, qu’on suppose aux polynômes de la forme x m — Ax"— « . . . .Tx-+-V, qui ne peuvent jamais acquérir de valeurs négatives pour toutes les substitutions faites pour x, sont appelles imaginaires , et les seconds termes de ces facteurs , sont les racines imaginaires des équations formées en égalant à zéro le produit de ces facteurs : d’où l’on voit 1 0 que le nombre des racines imaginaires , est toujours nécessairement pair ; a° que leur produit , qui est égal au dernier terme du polynôme , est toujours positif.

338 . Iæ polynôme quotient, c’est-à-dire, celui qui ne renferme plus que les racines imaginaires de la proposée , ayant son dernier terme positif , on conclura que le terme tout connu d'une équation, sera positif ou négatif , suivant que les racines réelles positives seront en nombre pair ou impair. En effet, le dernier terme du polynôme quotient multiplié

par le produit des seconds termes des facteurs

(x — d){x — b) (x-H f){x+g) dus aux racines

réelles positives et négatives, donne le terme tout connu de la proposée, dont le signe ne dépendra conséquemment que de celui du produit des seconds termes des facteurs qui répondent aux racines réelles positives.

339. On peut encore déduire de là cette autre conséquence qui trouve son application dans la géométrie analytique : si ton sait d avance qu'un polynôme ne comporte que des racines imaginaires , on sera assuré qu'il conservera le signe du premier terme pour toutes les substitutions faites pour x. Car, d’abord en supposant le premier terme positif, un tel polynôme se réduit, pour x — o, au dernier terme qui est positif , dans l’hypothèse actuelle ; toutes les autres substitutions doivent donc donner des résultats positifs : autrement le polynôme admettrait , au moins, une racine réelle. Si le premier terme est négatif, ou si le polynôme est tel que celui-ci — Aa^-t-Bæ 1 — Gr’-t-Da; — F , on l’écrira de cette manière : — [Ax* — Ita’-f-Ca: 1 — Dx+F), et, à cause du signe — qui est en-dehors, les résultats seront constamment négatifs.

3/|0. Théorème IV. Lorsque le nombre des racines réelles positives , interceptées entre les substitutions faites pour x , est pair , les résultats dus à ces substitutions sont positifs ; et, au contraire, ces résultats ont des signes différens , lorsque les racines réelles positives interceptées sont en nombre impair. Réciproquement, deux substitutions pour x , qui donnent des résultats de différens signes, interceptent nécessairement des racines réelles positives en nombre impair , et deux substitutions , qui donnent des résultats d’un même

signe , interceptent des racines en nombre pair ou en nombre zéro.

Nous avons insinué (33a) que deux substitutions qui donnent des résultats de différens signes , peuvent comprendreentr’elles plusieurs racines réelles positives : il pourrait arriver aussi qu’il tombât de telles racines entre des substitutions qui donneraient des résultats du même signe. Ce sont des circonstances qu’il importe d’examiner plus particulièrement.

Soit, à cet effet, le polynôme

formant le premier membre d’une équation : on

suppose les racines réelles positives a, b , c

n rangées par ordre de grandeur , en sorte qu’on ait

a> b>c > n, l’ordre des racines négatives étant

indifférent : Y est le produit des facteurs qui répondent aux racines imaginaires. Soient maintenapt deux substitutions p et q telles qu’on ait q < i et > A et conséquemment r> n , etc., et p<r ,

mais >n, etc. : il est clair que pour x=q p,

le produit à gauche du facteur x — k aura le même signe qui pourra être -+- ou — , et qu’il en sera de même du produit des facteurs depuis x — n inclusivement jusqu’à Y exclusivement : d’ailleurs par ces deux substitutions , le polynôme Y ne doit pas changer de signe (33<)) ; donc le signe du produit total ne peut plus dépendre , pour chacune de ces deux substitutions , que du signe du produit des facteurs depuis x — k inclusivement jusqu’à x — r inclusivement : or, les signes de ces derniers produits, relatifs aux deux substitutions, seront les mêmes ou

48o CHAPITRE XXVIII.

différens, suivant que ces facteurs seront en nombre pair ou impair. Le cas, où le nombre des racines interceptées est nul, a lieu lorsque le facteur x — n est consécutif à x — i. On voit ici la raison de cette restriction , au moins , dans l’énoncé (33a). Ainsi de ce que deux substitutions ne donnent pas de résultats de signes contraires, il ne faut pas conclure qu’elles n’interceptent pas de racines réelles , et d'autre part , si l’équation admet plusieurs racines réelles dont la différence soit moindre que l’unité, ou, en général , moindre que S , en prenant £ pour l’intervalle entre * les substitutions , les couples de résultats de signes différens seront en nombre moindre que les racines réelles. On conçoit qu’en diminuant l’intervalle entre . les substitutions successives au point que chaque couple de substitutions, qui donnent des résultats de signes différens , n’intercepte qu’une seule racine . on ne sera jamais en erreur sur le nombre de ces racines réelles positives , et de plus on pourra découvrir une portion de la valeur de chacune d’elles.

Eu effet, si les deux nombres p et q qui donnent des résultats de différens signes, ne comprennent qu’une racine , et si de plus ils ne diffèrent entre eux que de l’unité , ou même de moins d’une unité, le plus petit des deux sera une première approximation de la racine intermédiaire. Il est clair d’ailleurs que si la différence entre p et q, est plus grande que l’unité , on pourra substituer successivement depuis

p < q jusqu’à q les nombres p-hi,p+z deux

de ces nombres consécutifs, donnant nécessairement l’un -+- l’autre — , intercepteront une racine. Nous nous proposerons donc d’espacer les substitutions à faire entre les limites supérieure et inférieure des racines , de telle manière que deux substitutions con- * sécutives , donnant des résultats -+- et — , ne com-

prennent qu’une seule racine réelle. A cet ellet, nous établirons le théorème suivant. »

34 1. Théorème Y. Si les deux nombres p et q substitués pour x, diffèrent d'une quantité plus petite que la plus petite de toutes les différences entre les racines de la proposée , et s'ils donnent des résultats de différens signes , ils n intercepteront qu’une racine.

En effet , i° si les deux nombres p et q n’interceptaient aucune racine, ou o racine, auquel cas le nombre des racines comprises serait pair, les résultats numériques correspondans seraient de même signe (34o), ce qui serait contre l’une des hypothèses faites dans l’énoncé; a° si p et q comprenaient plusieurs racines, la différence q—p ou p — q serait plus grande que la plus petite différence entre les racines, ce qui serait contre l’autre hypothèse. Donc, etc.

34a. Il nous reste donc à assigner un nombre plus petit que la plus petite différence entre les racines réelles de la proposée , c’est-à-dire , à résoudre cette question.

• Problème. Etant donnée une équation quelconque , en déduire une autre dont les racines soient toutes les différences possibles entre celles de la proposée.

Soit l’équation

x rn — Bx" 1 —* — Tx-+- V=o ( 1 ) :

Si l’on pose (3 17)

x — x+z , d’où zz=ix — x',

x et x' étant les représentations des racines de (1), z qui est l’inconnue de la nouvelle équation , représentera toutes les différences possibles entre les

48 a CHAPITRE XXVIII.

racines de (i) : ordonnant le résultat de cette substitution suivant les puissances ascendantes de z , on aura une équation en z de même degré que la proposée , et qui ( 3 17) sera de la forme