X-t-Yz+Zz’-t-liz 3 -*- z m =o (i
les coéfficiens X, Y, Z, etc., étant des polynômes
dont les compositions en x , A, B, C T, V et
m , sont connues et assignées ( idem ). Les racines de (1) étant x = a , = b, = c , etc., celles de (a) seront
z — a — x , z = b — x , z = c — x , etc.
différences dont le nombre est m ; puis faisant i° x ' = a, on aura
z = a — a , z — b — a , z = c — a , etc.
a° x = b , on aura
z = a — b , z = b — b , z — c — b , etc.
et ainsi de suite. Pour chacune des racines x ' , la transformée (a) s’abaisse au degré m — 1 , ce qui doit arriver, puisque sous l’acception de x , 011 a X = o : d'ailleurs, pour x =a, = b, =c> etc., l’équation (a) se change en une suite d’autres transformées dont les coéfficiens sont composés en a, en b, en c, etc., de la même manière que ceux de (a) le sont en x , transformées qu’il s’agirait de résoudre, pour avoir par leurs racines toutes les différences cherchées : or , pour obtenir une équation qui remplace toutes ces transformées, il suffira d’éliminer x entre les équations (1) et (a), en observant que, dans cette dernière, on peut changer x' en x : en effet, on
sait d’avance que ces systèmes de valeurs
et
etc. etc.
satisfont aux équations (r) et (a); et comme l’équation finale est en z , toutes les valeurs précédentes de z , ne peuvent être que les racines de cette équation , et de plus ces valeurs sont les seuls nombres qui jouissent de cette propriété.
On est donc conduit, pour la formation de l’équation aux différences des racines , à cette pratique de calcul : remplacez dans la proposée , f inconnue x par x-t-z , supprimez dans la transjormée en z , le polynôme X qui répète la proposée , éliminez x entre l'équation donnée et sa dérivée , et f équation résul • sultante sera celle aux différences.
343. Cette équation finale sera du degré m(m — 1), (3 18 note), et conséquemment de degré pair; de plus ces différences étant égales deux à deux , et de signes contraires , l’équation finale ne doit comporter que des puissances paires de z, afin que le changement de -+- z en — z , qui n’en doit apporter aucun dans la totalité des racines , puisque les positives sont répétées par les négatives , n’en apporte pas non plus dans l’équation. Partant l’équation aux différences sera de la forme
en remplaçant z J par^, elle devient
y”— A/"-M-B'j»-»— .cy»- 3 + +Y—o (4).
Comme les facteurs de (3), sont z — (a — b), z — (b — a),
z = b — a , z = c — a , z = d — a , etc.
z=a — b , z = c — b , z— d — b , etc.
z=a — c , z — b — c , z — d — c , etc.
z — (a — c), z — (c — a), etc., si l’on fait les produits de ceux qui renferment les racines égales et de signes contraires , les facteurs de l’équâtion ( 4 ) seront
y — [a — b)' , y — (a — c)’ , y—{a—d )' , etc.
d’où il suit que cette dernière équation sera celle aux carrés des différences des racines.
344- L'équation (4) ne change pas , soit qu’on augmente ou qu’on diminue d’un même nombre chacune des racines de la proposée , en sorte qu’on pourra faire disparaître le second terme de celle ci ( 278 ), ce qui abrégera un peu le calcul de l’équation aux carrés des différences. Ou observera que le degré de ( 4 ) , sera abaissé dans le cas de quelques racines incommensurables égales parmi celles de la proposée.
345. Ayant ainsi obtenu l’équation aux carrés des différences , il faut en déduire un nombre moindre que la plus petite de ses racines, d’où on conclura facilement un nombre moindre que la plus petite
différence. A cet effet , on posera y — - dont la
substitution dans ( 4 ), donnera
1 — Au -t- Vlu' — Cu 3 . i . . . V’u* = o (5) ,
et, après la division par V',
u n — AV»— ‘-t-BV 1 — a — C"«"~ 3 + etc. . . . =0 ( 6 ).
Soit l un nombre plus grand que la plus grande
racine positive de ( 6 ) : ^ sera , d’après la relation y— ^i un nombre plus petit que la plus petite racine , positive y, et sera, d’après l’hypothèse y=s\
ÉLÊMENS D’ALGÈBRE. /,85
uu nombre moindre que la plus petite différence entre les racines réelles de la proposée. Donc dans
le cas de VI < i , d’où 1 ■> on sera certain que
la proposée n’a pas de racines réelles dont les différences soient moindres que l’unité : on pourra donc alors prendre l’unité pour différence entre les substitutions à faire entre les limites supérieure et inférieure des racines positives :mais si l’on a//>i,
d’où < i , il sera possible qu’il y ait dans la proposée des racines dont les différences soient moindres que l’unité : cependant comme la plus petite de ces différences , sera nécessairement plus grande
que-p^, on pourra prendre ce nombre ou un nombre
moindre pour l’intervalle constant à mettre entre les substitutions. Généralement, soit k le nombre entier le plus approchant en-dessus de VI, -si VI n’est pas un
nombre entier : on aura | ~ , pour la diffé-
rence constante de la progression des nombres à substituer : connaissant cette différence ainsi que les limites supérieure et inférieure L et L' des racines positives, on substituera successivement pour x les nombres
jusqu’à L exclusivement ; les résultats dus à ces substitutions , formeront une suite de nombres qui offriront précisément autant de variations de signes „ que la proposée comporte de racines réelles positives, et de plus chacune de ces racines tombant entre les deux substitutions consécutives qui ont donné des résultats de différens signes , la plus pe-
tite des deux différera , en moins , de la racine
comprise, d’un nombre plus petit que On connaîtra donc le nombre des racines réelles positives incommensurables de la proposée , et de plus on aura la valeur approchée de chacune d’elles , à
moins de la fraction ^ (*).
346. Nous rappellerons que, pour étendre cette méthode aux racines négatives , il ne faut que changer -\-x en — x dans la proposée, dont les racines négatives se changeront en positives.
347 . Si tous les termes de l’équation aux carrés des différences, ont le même signe, aucun nombre positif ne pourra y satisfaire (a 84), d’où il suit que la proposée ne pourra comporter plus d’une racine réelle; car si elle en avait deux, l’une g et l’autre /J il y aurait une différence g—f ou f—g dont le carré {g—jy serait essentiellement positif, ce qui est con-
(*) Nous rapporterons ici une observation de M. Budan, consignée dans sa nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques : soit , par exemple , une équation du quatrième degré ayant une de ses racines entre o et 1 , une autre racine entre 1 et 2, une troisième égale à 4 , moins un dthni-milliouième, et une quatrième égale à 4 > plus un demi-millionième : dans ce cas , la limite de la plus petite différence entre les racines , sera moindre qu’un millionième : donc le nombre des termes à substituer entre les limites des racines positives , s’élèvera à plus de qnatre millions , tandis que celte équation peut se résoudre par la substitution des nombres o , 1 , 2 , 3 , 4 et 5 . En cas d’insuffisance de ces substitutions , on aurait recours à celle des dixièmes , puis à celle des centièmes et ainsi de suite. Au reste , nous renverrons suç ce point au chapitre trente-deuxième de cet ouvrage.
tre l’hypothèse. Dans ce cas d’une seule racine réelle,
on pourra poser ^ ' = i. Généralement, on adoptera
cette différence entre les substitutions successives , lorsqu’on saura , à priori , que la proposée n’a pas plus d’une racine réelle positive. Si la proposée comporte seulement deux racines imaginaires, et elle ne peut en avoir un plus petit nombre (337), ^ mc >* n s que toutes ses racines ne soient réelles, alors l’une d’elles étant de la forme a-\-bv' — 1 , l’autre sera a — b\/ — i* comme on le démontiera (a e seet.); leur différence xb 1 / — 1 étant élevée au carré , sera — L\ \b 1 : donc l’une des racines de l’équation au carré des différences sera négative : si donc cette équation ne ne présente que des variations de signes , auquel cas elle ne peut admettre que des racines positives ( 284 ) , la proposée ne pourra avoir même deux racines imaginaires : donc elles seront toutes réelles.
348. Faisons quelques applications et considérons d’abord l’équation
x' — xx — 5 = o :
après avoir remplacé conformément à la règle (34a) , x par x'+z , ou par x+z, on aura la transformée
. (33*’ — a )+3xz-i-z’ = o;
éliminant x entre ces équations et posant z'=j } on aura
y — ia/ 1 -t-36/-t-643 = o:
comme dans cette équation en jr, les signes ne sont pas alternatifs, les racines de la proposée ne peuvent pas être toutes réelles ; car , dans ce cas, celles de l’équation aux carrés des différences, étant positives , cette équation ne présenterait que des varia-
lions de signes (a 84) : la pfoposéè n’a donc qu’une seule racine réelle; ainsi, d’après ce qui a été observé (347) , on pourra faire des substitutions croissantes d’une unité, à partir de x = o, et pour
x — o = 1 , = a =3, etc.
ou obtiendra les résultats
— 5 , — 6, — r -t-16, etc.
en sorte que la seule racine réelle et positive sera comprise entre a et 3; donc le nombre a sera la partie entière de cette racine. Dans ce cas, il est inutile de calculer les limites supérieure et inférieure des racines.
Soit , en second lieu , l'équation
x 3 — jx-hj = o:
la substitution de x+z pour x, donne après les réductions , cette transformée en z ,
(3x’ — 7)-t-3xz-+-z’ = 0 :
éliminant x entre cette équation et la proposée , on trouve cette équation aux différences
z 6 — 4az*+44 iz ’ — 49 = o ,
et, sous l’hypothèse jr=z* , on a
j — 4 \r ’ +44 ij — 49 -o-
En posant, comme dans la théorie générale, j= ^ on formera l’équation
qui donne / = g+i=io pour limite supérieure
des racines positives ( 33 o) : en sorte que
est un nombre plus petit que la plus petite différence entre les racines de la proposée. En partant de l’équation aux différences qui est l’équation en z,
et faisant z = \ , on a la transformée t ’
qui revient à celle-ci
qui donne pour limite supérieure, 9+1=10, bu
plutôt 1+ l/ 9 = 4 : donc ~ = \ = TTVç, ~V
pour le nombre plus petit que la plus petite différence. La méthode de Newton, appliquée à l’équation en u, donne, comme on l’a vu ( 33 o), /= 9
pour limite supérieure , d’où on conclut'-^- = ^
pour différence entre les substitutions, qu’il faut préférer aux deux premières, comme étant plus grande , en sorte que le nombre des substitutions à faire, est moindre. Il reste à assigner les limites qui comprennent les racines positives de la proposée. A cet effet, on a ( 3 ag) 1+ t/S = i+ 1/7=3, etc., en observant qu’il se trouve deux termes positifs x'+ox' avant le premier terme négatif — 7# : on pourra
donc poser 4 pour limite supérieure : on trouvera -
pour limite inférieure : ainsi les limites supérieure
et inférieure sont 4 et - , et la différence entre les substitutions est Pour éviter les fractions , on
/jj t
posera x = , ce qui change la proposée dans
dont les racines sont triples de celles de l’équation donnée , en sorte que les limites de ces racines se-
ront triples des précédentes , c’est-à-dire , 1 a et - ,
•ou 11 et 1 , en observant qu’on peut abaisser la
limite inférieure : la différence des substitutions de-
viendra triple aussi, c’est-àdire, 1. On fera donc les hypothèses
d’où
en s’arrêtant à x' = 8 qui rend le premier terme ■t ' 3 > 63 x'. On conclut de ce tableau
x > 4 et < 5 , d’ou x > | et < - ,
x' > 5 et < 6 , d’où x > - et < - •
Pour procéder à la recherche des racines négatives, on changera les signes des puissances impaires de x dans la proposée, ce qui donnera
— x* 4- 7X 4- 7 = 0, d’où x 3 — 7X — 7 = 0,
ÉLËMENS D’ALGEBRE. 4 gi
équation dont les racines positives se trouvent encore entre les limites 4 et - , ou bien entre 12 et i pour la transformée
dont les racines ont avec celles de la proposée la relation x = ^ , et la différence des nombres à substituer sera encore l’unité, différence qu’on n’a pas besoin de calculer, puisqu’on sait qu’il ne reste plus qu’une racine réelle à découvrir. En commençant les substitutions, à partir de la limite supérieure, on trouvera qu’aux valeurs
x — ia, —11, =10, =9
répondent ces résultats
783, -t- 449 , 4- IOI , — 27 ;
d’où l’on déduit
x' > 9 et < 10, d’où a 1 > 3 et < 3 4- ^ :
il existe donc une racine comprise entre — 3 et
Soit enfin l’équation
qui comporte la racine entière 1 , mais qu’on ne soupçonne pas : on trouve o , 4 pour l’intervalle à mettre entre les substitutions, et on a ce tableau dans lequel la lettre R note, comme plus haut, les résultats quant aux signes.
fà
etc.
II y a donc une racine entre 1,2 et 1,6; une autre entre 0,8 et 1,2 et enfin une troisième et dernière entre — a et — 3. Rien n’annonce que la racine comprise entre 0,8 et i,a est 1’unité ; mais lorsque, par la méthode exposée (Chap. XXXI% on voudra approcher davantage de la racine, on trouvera le complément 0,2. Ainsi les racines commensurables dont on n’aurait pas .débarrassé l'équation, ne mettraient pas la méthode en défaut.' * •
349 . Le moyen le plus direct d’obtenir une limite plus petite que la plus petite des différences entre les racines d’une équation , est de calculer, comme nous l'avons vu ( 34a ), l’équation même dont les racines seraient les différences entre celles de l’équation donnée, et de déterminer ensuite par les méthodes connues, la limite de la plus petite racine de cette équation; mais pour peu que le degré de l’équation soit élevé , celui de l’équation aux différences monte si haut, qu’on est effrayé de la longueur des calculs nécessaires pour en trouver tous les termes. Lagrange ajoute : « Comme cet inconvénient pourrait rendre la méthode générale irnpra-' ticable, je me suis long temps occupé des moyens de l’affranchir de la recherche de l’équation des dif-
ÉLÊMENS D’ALGÈBRE. 4 9 3
férences, et j’ai reconnu, en effet, que, sans calculer en entier cette équation , on pouvait néanmoins trouver une limite moindre que la plus petite de ses • racines. » Nous ferons connaître cette méthode sur un exemple, et nous prendrons, à cet effet, l’équation
nous avons trouvé (348), pour l’équation aux différences des racines
Y + Zz + XJz* =o,
en posant 3a:* — 7 =Y, 3x=Z, U=r. Faisons maintenant z = \, hypothèse qui change la précédente dans celle-ci
laquelle, multipliée par i* et diyisée par Y, devient
mais L étant un nombre plus grand que la plus grande des racines i de ce Le équation , ^ sera la limite cherchée : or, comme le plus grand coéfficient des termes négatifs d’une équation , pris positivement et augmenté de l’unité, est plus grand que la plus grande des racines positives de cette équation, il n’y aura qu’à chercher la plus grande valeur négative qui résultera de la substitution des racines de la proposée X=o, à la place de x dans.
les coéfficiens ^ et ÿ de l’équation en i , et même
un nombre plus grand , le prendre positivement et
l’augmenter de l’unité : ce sera le nombre L. Si les
Zi
coéfficiens ^ y ne contena ‘ ent c l ue des puissances
de x, sans dénominateur, on pourrait facilement résoudre la question ; mais ici la difficulté vient du dénominateur Y qui contient l’inconnue x : voici comment ou peut l’éluder. Si l’on prend un polynôme tel que
P = x’ -4 -ax+b,
dans lequel a et b soient des coéfficiens arbitraires et qu’on le multiplie par le polynôme Y, qui, dans notre exemple, est 3ar“ — 7, on aura le produit
P.Y= 3 o? 4 + 3 ax 3 -+-(3 b — 7)x’ — 7 ax — 7 5 ;
mais X — o donne
x J = 7x — 7, d’où x 4 = 7X 1 — 7X;
faisant ces substitutions dans P.Y, il viendra
P.Y = (35 •+• i 4 )®’ -4- (i 4 <* — ai)x — 21a — 7 b;
On posera donc . •
35 + i4 = o, i4 « — 21=0, — 21 a — 75 = K, d’où a = -|, b — — K = £ = P.Y : conséquem-
ment
P = #‘ + tx — -tS
multipliant de part et d’autre par Z = 3 x, et substituant pour x J sa valeur 7X — 7, on obtient
de sorte que remplaçant dans l’équation en i, le
polynôme Y par sa valeur p , on obtient
où les coëfficiens
P.Z onx’ A ix — 126 P 6a-’ -4- qx — 28
n’ont plus qu’un nombre en dénominateur.
Cherchons par la méthode de Neivton les limites supérieure et inférieure des racines positives et négatives de la proposée : la transformée en l+z est
