X -+- Yz 4- Z z’+z 3 =o
en posant
X = l 3 — 7/ Ht- 7 , Y = 31 ' — 7, 2 = 31 :
la valeur de l, qui rend ces coëfficiens positifs, est a limite supérieure des racines positives. Si l’ou change x en — x , et èn même temps les signes, afin que le terme de plus haute puissance soit positive, on trouve
coëfficiens qui deviennent positifs par l=h.en nombre
fractionnaire, on pourra prendre —qui sera une limite
plus grande que les racines négatives prises positivement. Pour avoir les limites inférieures, on changera, pour les racines positives, x en - dans la pro-
posée, et l’ayant multipliée par x s et divisée par 7
on aura celle-ci ,
dont la transformée en l + z donne
I , Y=3/’ — a/, z=Zl — 1 ,
coéfficiensqui deviennent positifs par /= - : ainsi ^
sera la limite inférieure des racines positives. Pour obtenir la limite inférieure des racines négatives, on
changera x en — x dans la transformée eu^ , puis
les signes de l’équation , ce qui donnera
équation qui , par le changement de x en z-\- 1 , donne
coéfficiensqui deviennent positifs par/=* , en sorte que 3 sera la limite inférieure des racines négatives prises positivement. On a donc trouvé a et | pour
les limites des racines positives, et 3 et — pour celles des racines négatives prises positivement On substituera donc ^ pour x dans les termes positifs
et a dans les termes négatifs des deux coéfficiens
27^*4-42* — 126 6.t’ 4- qx — a8
et 2- et I on trouvera
les résultats et — — : puis après avoir changé
x en — x , ce qui change ces coéfficiens dans les
37a:’ ■*— — ia6 6x’ — qx — 38
suivans — et , on
écrira 3 pour x dans les termes positifs et ^ dans les négatifs, et on aura les résultats — ^ et —
Puisque — — est le plus grand des résultats négatifs ainsi obtenus, on posera
L = — -t- 1, d’où -^-=- 2 -,
pour la limite moindre que la plus petite des dif- ' férences entre les racines de la proposée. On a trouvé
(348 1 par l’équation même des différences, £ = ^ ,
d’où l’on conclut que la méthode précédente donne, à la vérité, une limite un peu plus petite, mais que la différence est peu considérable.
Si dans l’équation (1) la quantité R était nulle, on aurait pour L une quantité infinie, et la limite
serait nulle , ce qui indiquerait l’égalité de plusieurs racines dans la proposée: en effet, dans ce cas, on sait (Chap. XXVII) que X=o et Y=o:or,
Ki
à cause de Y = p , nécessairement pour Y = 0, on
doit avoir R = o et réciproquement.
Au reste, ajoute La Grange (not. IV de la Résol. des Équat. Num. ), quoique, pour une équation du troisième degré, il n’y ait rien à gagner par cette méthode, sur la longueur du calcul, il n’en sera pas
de même pour les équations des degrés supérieurs : car le nombre des opérations qu’elle exige, n’augmente que comme le degré de l’équation , au lieu que celui des opérations nécessaires pour calculer l’équation des différences, augmente comme le carré de ce degré ( Voyez la seconde Section. Chap. FI. )
