SS
a n — m b 3 na
p représentant le second terme — , q le troisième
p , et ainsi de suite.
1 a na 7
Qu’il s’agisse d’extraire la racine n ime d'un nombre qui ne soit pas une puissance de l’ordre n, on aura rn — i : cherchant la plus grande puissance exacte de l’ordre n, contenue dans le nombre proposé, et ladésignant par a ; l’excès du nombre sur a sera b : Si par exemple , on doit extraire , à un cent millième près, la racine sixième de 65, on prendra dans 65 le nombre 64 qui est le cube de 4 , et conséquemment la sixième puissance de a, et on aura •
Va — i , £— 65 — 64= 1 ,m— 1, n = 6; donc
ÿr-*]
-= a[i -t-o,ooa6o4a — 0,0000169-1-0,0000003 — etc.] = a,oo5i75o etc. : •
on s’est arrêté au terme 0,000000a, parce que le sni-
vant ayant plus de sept zéros à la suite de la virgule, ne peut influer sur l’approximation demandée.
Il peut cependant arriver que le complément b au nombre proposé, de la plus haute puissance n ime contenue dans ce nombre , soit très-peu différent de a; ^ '
• alors la fraction - diffère peu de l’unité , et la série
ne converge pas assez rapidement, pour qu’on puisse s’en tenir à un petit nombre des premiers termes. Voici le moyen auquel on peut recourir dans ce cas. On prendra au moyen de la formule elle-même , la racine n‘"“ du nombre proposé avec une première approximation de deux ou trois décimales; on élevera ce résultat à la puissance n, et on le prendra pour a; puis on fera b égal à F excès du nombre proposé sur a : alors b sera très différent de a ; en sorte que la série ordonnée suivant les
puissances de - , sera très-convergente , et il suffira d en
calculer un petit nombre des premiers termes.
Proposons-nous, par exemple, de trouver la racine cinquième de 161900 avec une approximation de douze décimales. On a (ii ) 5 = i6io5i ; donc a = i6io5i , 4=849, rn — t ,n = 5; substituant dans la formule
dont il suffira de calculer des deux premiers ter-* mes , on trouvera
1/T57 9“=,' [ ' + - ra i!r]- ,, - 0, ‘ ;
dont la cinquième puissance est
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donc
la substitution de ces nombres et de m— 1, n= 5 dans la formule précédente, donne
a 63 . Ce qui précède nous conduit naturellement à parler de la formule de Haros , que cet habile calculateur m’a communiquée dans le temps.
Représentons par a" + i un nombre quelconque dont on ait à extraire la racine de degré n , et posons
Va n 4- b — a -\-q, d’où a" -t- £=(a- q)" :
développant le second membre et retranchant a n de part et d’autre, il vient
h—q\na n — v
- «te. J
d’où l’on tire q —
na'
n(n — 1 ) n — a nln — i)(n — a) n — 3 ,
-——a q H rHs a + etc.
si q doit être une fraction très-petite, ofi pourra né- ‘ gliger vis-à-vis de na n ~‘ les termes multipliés par q , et on aura une première approximation de q, que nous désignerons par q\ en sorte que
^ na n — 1
si l’on prend dans le dénominateur les deux premiers termes, on aura
na n — 1
ELÉMENS D’ALGÈBRE. 335
si dans le second membre, on écrit pour q sa première approximation et qu’on note par q la valeur correspondante de q , plus approchée que celle de q , on aura
? = donc
na"
* na n
iab
%na K {n — i )b
iab
ina n ±.[n — i )b Pour n = a et /» = 3 , cette formule donne
: lab
ab
ôa 3 ±b
Soit 4587364* le nombre dont on se propose d’extraire la racine cubique: on prendra le cube le plus approché en -dessus, parce qu’il diffère moins du nombre donné que le plus grand cube inférieur; en désignant ce cube par a 3 , on aura a 3 = 458827 ta, — £= — 9070, a — 358 : et la formule ci-dessus donne
