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5 io CHÀP 1 PRE XXXI.

et l’on aura la transformée

équation qui n’aura plus qu’une racine réelle plus grande que l'unité : ainsi on supposera successivement z = o, = i, etc.; or z = a donne le résultat — i , et z = 3 donne -f- 7 ; donc a sera la valeur approchée par défaut. On fera

et on aura, en changeant les signes,

les hypothèses u — 4 et«= 5 , donnant des résultats de signer différens, on fera

et ainsi de suite. Pour la seconde racine y dont la partie entière est a , on posera

substituant dans la transformée ci-dessus en y , il viendra

z'-hz* — az— •1=0;

cette équation n’aura , comme la précédente en z , qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité, de sorte qu’il n’y aura qu’à faire z=i , =2, etc., ce qui donnera les résultats — 1, + 7 , etc.; d’où l’on conclut 1 pour la valeur entière approchée de z. On fera donc

z= I -fr-,

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. • 53 r

et l’on aura, après avoir changé les signes,

d’où l’on déduira, comme plus haut, 4 pour la valeur entière approchée de la racine u. Les deux racines positives seront donc

a-f-- — i Hh - —

4+etc. 4-+- e *G.

Pour trouver la valeur approchée de la racine négative, on changera a; en — x dans la proposée qui deviendra

x' — •jx — 7 = 0,

, de laquelle on a déduit la valeur approchée 3 : qp posera donc

ce qui donnera, en changeant les signes, j- 1 — aojr’ — qr— i = o;

et comme cette équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité, on en trouvera la valeur approchée, en faisant yz=. i , = 2 etc., jusqu’à ce qu’on rencontre deux résultats consécutifs qui aient des signes différens, ce qui arrivera pour y— 20; en sorte qu’on posera

et ainsi de suite.

53a * CHAPITRE XXXI.

En traitant ( 348 ) l’équation

nous avons trouvé o,8 pour première approximation de l’une des racines : on posera donc

ce qui donnera la transformée

o, 5 iajr 3 — 3,087- + 1 = 0,

et on trouve que y — 5 la réduit à zéro, en sorte que

Ainsi, comme nous l’avions annoncé, les racines entières ne mettent pas la méthode en défaut. L’équation

comporte trois racines, l’une entre o et 1 , la seconde entre 1 et 2 , la troisième entre — 1 et — 2. Pour la racine comprise entre o et 1 , 071 a p~o, en sorte qu’il faut faire la substitution

qui donne, après les réductions, la transformée

y 1 — — jr+ * —o :

pour y=o, cette transformée donne le résultat 1, et pour y—i, elle donue — 1, d’où on conclurait une racine y entre o et 1 , c’est-à-dire, q — o, ce qui est absurde, puisqu’on aurait pour première approximation

x=p + - = o + - = CO.,

il faudra donc essayer d’autres nombres pour y. on trouvera pour y=i et y=3, les résultats — i et + 7; .

en sorte que q = a : on fera donc

les substitutions z = \, z= 5, faites dans la transformée en z , donnant des résultats de différens signes, on aura z = 4 et ainsi de suite.

Enfin pour la racine négative , on changera x en — x, et par rapport à la résultante x' -t- x 1 — ix — 1=0 ,

on cherchera la racine comprise entre 1 et a.

Enfin l’équation

X — x 4 — 4x’ 4- l\x — 1=0, a pour équation aux carrés des différences entre les racines

r® — 3a y s + 344/‘ — i3i ay 3 — ia8 y = o

laquelle est satisfaite par/=o, ce qui indique deux racines égales dans la proposée (344)* En effet, les polynômes X et Y=4^’ — 8® + 4 admettent le commun diviseur x — r, en sorte que la proposée est divisible par (x — ï)’ : en égalant le quotient à zéro, on a

x’ -+- ax — f = 0:

les substitutions o et 1 donnant des résultats de signes différens, on fera

d’où l’on déduit la transformée y' — ar--— i=o,

qui donne a pour partie entière approchée : posant

on aura

z* — az — 1 =0,

transformée en z la même que la précédente en j'. En sorte que toutes les transformées suivantes répétant les deux précédentes, on aura indéfiniment q = r=s = t=v etc. , = a; d'où on conclura la

fraction continue périodique

• 2 H- etc.

En changeant, x en — x , la proposée devient