X ’ IX

et on trouve pour a; = 2 , le résultat — i, et pour x=3, le résultat + 2 , d’où on conclut une racine entre 2 et 3 , et conséquemment p = 2 . On pourra s’exercer à la réduire en fraction continue, et à l’assigner en fraction décimale , sous une approximation déterminée.

Ds QUELQUES EXPÉDIENS AUXQUELS ON PEUT RECOURIR DANS LA RECHERCHE DES RACINES RÉELLES ENTIÈRES, ET INCOMMENSURABLES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

3fia. La méthode Suivante due à Newton (*), mérite d’être connue, et peut, dans plusieurs cas, être employée avec avantage pour obtenir les racines entières des équations numériques.

(*) Voyez l’arithmétique universelle traduite du latin en français, avec des notes explicatives par M. Noël Btaudeux.

ÉLÉMENS D’ALGÈCRE. 535

.Soit toujours l'équation

x m -h?Ax n —* + Ba ;™ -1 -+- -+-V = o

qu’on suppose exactement divisible par le facteur x±a, auquel cas — a ou -ha est une racine; on aura donc

or, si l’on suppose dans les deux membres de cette identité, x — ï,x — o,x— — i, les résultats numéri* ques de ces substitutions faites dans le premier membre, seront divisibles par i ±a, ±a, — i±o, nombres qui forment une progression par différences égales, cette différence étant l’unité.

D’où résulte cette règle pour trouver les racines entières des équations.

Ecrivez dans la proposée pour x les nombres i , o, — i , cherchez tous les diviseurs des résultats que vous écrirez sur trois lignes horizontales : si de la première à la dernière ligne , on trouve trois nombres en progression arithmétique , le nombre intermédiaire , ou celui qui se trouve parmi les diviseurs de V, doit être essayé sous les signes + et — comme racine de la proposée.

Si l’on ne trouve aucune progression arithmétique entre les nombres de ces trois lignes, on sera certain que la proposée n’admet aucune racine commensurable : mais de ce qu’on trouve une ou plusieurs progressions de cette espèce , on ne doit pas conclure que la proposée admette même une racine entière. C’est ce qui motive cette restriction de Newton : il faut essayer chaque nombre intermédiaire , ou diviseur de V, comme racine.

Faisons une application de la règle à l’équation *’ — 5aè — 1 8 ^-t- 7 a = o ,

les substitutions x=i , x — o, x = — i donnent les résultats 5 o , 7a et 84 : à côté de ces nombres , je dispose horizontalement leurs diviseurs, ainsi qu'on le voit dans le tableau ci-joint

1, a, 3 , (\, 6, 8, 9, ta, 18, a 4 , 36 , 72

Parmi ces diviseurs , on rencontre les progressions a, 3 et 4 > 5 , 4 et 3 ; 5 , 6 et 7 , dans lesquelles les termes moyens -t- 3 , — 4 > + b satisfont à la pro-

Souvent on obtient plus de progressions arithmétiques que l’équation n’a de racines; afin de réduire les épreuves au plus petit nombre possible, on fera, par exemple, x = i : par cette nouvelle supposition , ,1e diviseur de l’équation, devient a±a qui, étant en progression arithmétique avec i±a, ±a, — 1 ±0, avertit que, parmi les progressions déjà trouvées, il ne faut admettre que celles qui sont continuées par les diviseurs du nombre qu’on obtient , en écrivant a pour x dans la proposée. En procédant de cette manière, on diminuera successivement le nombre des progressions et conséquemment celui des vérifications. On trouvera de plus amples détails sur ce poinjt dans l’ouvrage cité plus haut.

363 . Nous allons considérer , en même temps , les racines commensurables et incommensurables inégales et rechercher les racines incommensurables, avec approximation , sans calculer l'équation aux 'différences.

Soit l’équation du cinquième degré

ELEMENS D’ALGEBRE. 53 7

les substitutions x= — a,= — i,=o,=^i , = a ,=3 donneront ces résultats

jr = — 19» — 35 » — 99> — 49 » » +81, etc.

diff. i rei — 16, — 64, - 4 - 5 o, -t-110, -4-ao

diff. a mes — 48 , -*-n4, -t-60, — 90, etc.

3 m «* 16a — 54 , — i 5 o, etc.

5 mes ....-+- lao.

En retranchant un résultat y du suivant , on a la différence première placée au-dessous et entre les deux.

En retranchant une différent^ première de la suivante , on obtient la différence seconde placée audessous et entre les deux.

On opère de la même manière sur deux différences secondes consécutives, pour avoir la différence troisième inférieure et intermédiaire , et ainsi de suite.

On arrive toujours à une ligne de différences constantes ou dont les différences sont nulles. Ces différences constantes sont 1 ao pour toute équation du cinquième degré, et, en général, la différence constante est égale au produit de la suite naturelle des nombres, depuis 1 jusqu’au nombre qui marque le degré de l’équation (*).

(*) En effet , soit prise la lettre d pour représenter le» différences i re * , i"», 3 n,e * , etc. , un indice supérieur indiquant l’ordre de la différence, et un indice inférieur indiquant le rang du terme de la suite qu’on soustrait du suivant; en sorte que

d l expriment les différences premières;

. d ^ expriment les différences seconde», etc.

On aura donc

.fi) m . r, , ni» ,

L’équatioq étant

5ooæ 5 — 4885a: , 4-4oaa! î -+-af 35 ar+ 372 =:o=j', à ces valeurs .r= — 2 , = — 1 , — o, = r , =2 ,—3, répondent ces résultats pour y, savoir:

J— -*-ao79°» -4-3oa4, + 372 , — 1476 , — i683o, o. ,et ces différences

ircs — 1 7766 , — 2G52, —1848, — 1 5354,4- i 683 ô

2 me> 4 - 1 5 1 1 4 +804 — i35oG 4-32184

3,ne ‘ — 44 ?io — i43io 4-45690

4 me * 4-0 4-60000, 120000

5 me *..: H 60000 60000

La différence 5 me constante est égale à 120 pour toute équation du cinquième degré dont la plus

et , en développant ,

«i(») " 1 =rn(n-r - 1 ) m r -*A [n — i) m — 1 ) m 3 +.

les coéfficiens A , B , C , etc. étant indépendans de n. Le terme précédent , savoir :

=m(fi — a)" *-f-A(n — a)"’ * 4 -B(n — 3 )™ 3 4-..-f-m(« — 2)4-1.

On trouverait de même toute» les autres différences premières.

Passons aux différences secondes : on aura

jfal /i) /r) — t m — i

Bf/t — t) -.'+m{n — i) + i — . m(n — a) —

A [n — a) —PC" — 2) .... — m{n — a) — i:

En mettant n — i sous la forme n — a 4 -i , on trouvera facilement , après le» réductions ,

Ja) , .m— ri . .m — î

rf =zm(m— i)(«— a) 4-A («—2) 4 -

ELÉMENS D’ALGÈBRE. 53 g

haute puissance a pour coefficient l’unité : ici cette différence est le produit de lao par le coefficient 5 oo de la plus haute puissance de x.

Au moyen de ces différences, il devient facile de continuer la série des résultats dus aux substitutions en progression arithmétique, faites pour x , et de la prolonger daus les deux sens jusqu'aux limites des racines positives et négatives.

Dans le premier exemple, on aura 120—96=24 pour nouvelle différence quatrième : +2/1 — i 5 o= ■ — 126 pour différence troisième; — 126 — 90= — 216

les coéfficiens ABC etc. , étant indépendaus de n. Il est

clair que le terme précédent est composé en n — a et n — 3

comme ^ , pris avant les réductions, l’est en n—i et n — a; qu'ainsi, pour l’obtenir, il suffira de changer partout dans l’ex-

pression réduite de ,1e nombre n en n — 1 , ce qui ne chan-

géra pas les coéfficiens A, t B, C, ? etc. On aura donc ^ ^ = m{m — i)(n — 3) -4- A (n — 3) -+-

F.t on obtiendra de la même manière les autres différences secondes. On voit facilement qu’une opération toute semblable faite sur les différences troisièmes consécutives , donnerait

rf (3J =d N *(•) = „ l(OT l)( ,„ ?X __3 ) m - 3 4 .

/i— 3 n— j fi— 3

fl, = ff ~ fl 4 = -ipt 4 )"* 3 +“

54 o CHAPITRE XXXII.

pour différence seconde : — ai6 + ao= — 196 pour différence première : — 196+81= — 1 1 5 pour résultat provenant de la substitution x~l\ dans la proposée. On pourrait de la même manière prolonger la ligne des résultats vers la gauche.

Mais on observera que la différence entre les substitutions, correspondantes aux résultats ainsi obtenus, étant l’unité, deux de ces substitutions ou de ces valeurs de x qui donnent des résultats de signes différons, peuvent intercepter des racines en nombre impair , et qu’ainsi deux valeurs de x auxquelles répondent des résultats de même signe , peuvent comprendre des racines, mais en nombre pair ( 3 /fo). En sorte qu’il y a incertitude sur l’existence, et surtout sur le nombre et le lieu des racines réelles , à moins qu’elles ne soient commensurables.

Revenons au premier exemple : en continuant vers la gauche la série des différences , on aurait des résultats y qui croîtraient négativement : car la cinquième différence accroîtrait la valeur négative de la quatrième , celle-ci augmenterait positivement

Cette marche étant bien saisie , on en conclut que le terme ^ ' == m[m — i)(to — a)(m — 3) — (z — i)J(« — z) *+

le second membre étant toujours terminé par le terme qui a m — m on zéro pour exposant de n — z , il s'ensuit que , pour " =m , le second membre deviendra

J”) 1 , yj .

Il est évident que toute différence de même ordre, aura même expression que la précédente : d'où on conclut la propriété , énoncée.

ELÉMENS f)’ ALGÈBRE. 54 1

la troisième qui augmenterait négativement la seconde , d’où résulterait une plus grande différence première positive, et enfin une plus grande valeur négative de y. Vers la droite , on ajoutera ia différence cinquième à la quatrième, la somme à la troisième et ainsi de suite jusqu’à y : en continuant cette opération, on obtient les résultats y — — 379 et 7=4- 1981, correspondans ài= 7 et xc = 8, et, à partir de cette époque , on ne doit plus obtenir que des résultats positifs : car , à la longue , la différence constante positive doit rendre telles toutes les autres, ainsi que les valeurs de^y. De tout ce qui précède, on conclura l’existence d’un nombre impair de racines, entre x=4-i , et — +2 , entre x = 4-3 et =4-4» entre #=4-7 et =4-8. Si l’on examine la marche des résultats ou des ordonnées négatives — 49, — 99> — 35, — 19, — 549, etc. , on verra que la courbe tracée par leurs extrémités (Chap. XXIX) se rapproche de l’axe, vers l’ordonnée — 19 moindre que celle qui la précède et que celle qui la suit , pour s’en éloigner ensuite , ce qui peut faire soupçonner l’existence de deux intersections ou d’un attouchement entre les ordonnées — 19 et — 35; cependant cette circonstance peut ne pas avoir lieu, ïl est donc assez naturel d’essayer une valeur de x

entre — 1 et — 2, par exemple, — et on trouvera 4- ^ pour le résultat correspondant : il y a donc '

une racine entre — 1 et , et une autre entre et

— 2. Ainsi nous avons les limites des cinq raciues, et il ne reste plus qu’à en trouver des valeurs plus approchées , ce que nous ferons bientôt d’après les mêmes principes.

Dans le second exemple, les substitutions o et r interceptent, au moins, une racine; le nombre 3 satisfait, et, d’après la marche des dernières différences à droite, il ne faut pas chercher de racine au-dessus de 3 . Continuant, comme nous l’avons dit, les lignes des différences et des résultats y vers la gauche, on trouvera = -f- 7980, = — 201096, correspondans à x = — 3 et x = — 4 ■> et les résultats suivans seront continuellement négatifs, ainsi qu’on pourra le juger à la seule inspection des dernières différences successives à gauche. Si , à l’effet de diviser l’intervalle constant entre les substitutions — 2,

— 1,0, etc. , on fait 1 ox — z , ce qui donnera la transformée

et qu’on opère par les différences, on trouvera que z— — 5 , z = — 2, z satisfont : donc x — — o, 5 ; x — — o, 2; x = o, 8; et, en sus, x =3 : comme la proposée manque de second terme, la somme des cinq racines, prise en signe contraire, est nulle, d’où résulte — tt pour valeur de la cinquième racine , et , en effet , on sait déjà quelle tombe entre

— 3 et — 4 -

Soit l’équation

les substitutions — 2, — 1, o, 1, 2, etc., pour x , donneront . ,

Diff. i r ” +57 — 15 — 27 —147

Z me * -f-60 — 108 /-

ÊLÉMENS D’ALGÈBRE. 5/, 3

11 résulte de la marche des différences qu’il ne peut y avoir de racines réelles au-delà des limites i et — 2. L’une des racines est égple à i + z et l'autre à — i — z. Posant i=n-z,on aura la transformée

— yz‘ — 32 z 5 — 53 z* — 55 z -j- 2 = o :

comme z doit être fort au-dessous d’un dixième, on fera 100 z = Z, d’où z—-^- , et l’équation précédente deviendra

— 7Z* — 3200Z* — 53ooooz‘ — 55 ooooooz-f- 200000000=0,

on aperçoit facilement que les substitutions 3 et 4 sont les seules qui donnent des signes contraires. Pour z = 3 ,on a un résultat positif, et pourZ= 4 > le résultat est négatif. Faisant de même — 1 — 7, on a la transformée

— 7Z 4 — 2 /fz’ — 29z' -p- 3 s — 44 = o ; comme la valeur de z est comprise entre o et 1 , faisons 10 z = Z, d’où ==“ , et la précédente deviendra

— 7 z* — a 4 oz* — agooe‘ -J- 3 oooZ -+- 440000 = o

les hypothèses z=o, =1, =a, = 3 , =4, etc., donneront les résultats

Diff. i re *.. — 147 — 7485 — i 65 i 5 — 27405

2 me ». — 7338 — 9 o 3 o — 10890

* 3 me> — 1692 — 1860

4 me *..'. — 168:

vers la gauche, les résultats croissent positivement,

mais la somme toujours croissante négativement des dernières différences à droite, conduira bientôt à un résultat négatif : pour

on a

nai3

i3oooo

pour y> io, les résultats sont constamment négatifs. Toutes les substitutions entre deux valeurs consécutives de y, ne peuvent faire découvrir et même soupçonner d'autres racines. .

364- Avant d’aller plus loin, nous donnerons un moyen d’abréger le calcul des différences. Soit l’équation

a 4 - bx 4- ex' 4- dx' 4 - ex 4 4- etc. = o

si l’on désigne par/ 0 , J,, J*, jr t jr m les résul-

tats dus aux hypothèses x=o, = i, —a, =3.. ,=n, on aura

y % = a -(- Zb -f- gc 4- 27^4- 8te-J-etc.

etc.

Or, si l’on désigne par A‘j„, A’jr., A’^„,. . . .A les différences première ; seconde , troisième jjime relative à , il est démontré qu’on a (*)

y n ~ 3 elc -

(’) Voyez mon traite de calcul différentiel et intégral.

d’où résultent, pour n= i, = a, = 3, etc.

A ro =y,—y,

Kr.—y,—*y. -t-y.

etc.

Et conséquemment ces valeurs des différences en coéfficiens a, b, c etc.

A'/„ = b-\- c-\-d-\-f-\-g-\-h-Jri-\-k-ir eic.

A’/» =a(c-j-3^-( 7 e +' I 5/ 1 l'"3x^+63/i-f-ia7t+a55À-4-ctc.) A 5 ^ =6{d-\-Ge-\-^/- 1 rQog-\-3oih -f-966<-j-3oa54-]-etc.) A 4 ^,, = a4(e-f-iq^-|-65g’-f-35oÂ-t~ i 70 iH- 777 oÆ-}-etc.) A *jr. = iao^-j-i^ - !" i4oA-f-io5o<-j-6ÿ5iA-l- etc.)

A V» == 7 ao 0> "t” a 1 A + a 66 « '-i- 2646 A -J- etc. )

A 7 y* = 5o4o(A -|- 28 / -f- 462 Æ -j- etc.-)

A */ 0 =4o32o(x'-t-36^-+-etc.)

A’^-,, =36a88o{4--f- etc.).

Cette table suffira pour résoudre les équations depuis le premier jusqu’au neuvième degré inclusivement.

Pour le second exemple, on a 0 = 372, £=2i35,c=4oa, d = — 4885, e = o,/= 5oo, d’où

y a =a=3j2,A‘y.= — iS4§,Ay„= — i35o6, AV. =45690, A*/.= 120000, A’7 - .=6 oooo.

Au moyen de ces différences qu’on rencontre parmi celles que nous avons obtenues pour la seconde équation, et du résultat j - ,, qui répond à x = o, on peut prolonger les lignes des différences et des résultats dans les deux sens, comme on l’a vu plus haut.

365. Nous passerons à l’approximation, et d’abord nous considérerons l’équation

x 1 — 3Jr — 5 = o

traitée ( 348 , 36 1) : cette équation a une racine entre u et 3 : soit x=2 + z, et dans la transformée

z’ -j-6z’ -{- loz — i=o, faisons iooz = t; il viendra

t* -\- 6 oot' rooooot — 1000000 = o;

pour <= 9 et <=10, on obtient ces résultats

R = — 50671, R=-f-6iooo;

donc <=9,2=0,09, « = 2,09. Mais par la règle de fausse position (*), on a

d’où z = 0,09453 et x = 2,09453 résultat exact dans les quatre premières décimales ( 36 1) : on pourrait se servir de cette valeur de x pour s'en procurer une plus approchée; à la vérité rien ne fait con-

( * ) Soit l’équation

ax — b=zo, d’oùx=-:

si l’on fait les hypothèses x—p, x—p-x- 1, on aura les résultats ap — b, ap-{-a — b : or

4 a P~ h . ap—b b

P ap — b — [ap-\-a — bj ^ — a a ,

qui est la racine x. Ainsi pour avoir la valeur de x , il faut à la plus petite substitution p, ajouter le résultat correspondant , divisé par ce résultat diminué de celui qui est dû à la substitution p + 1, Lorsque a est négatif, la formule précédente devient

— ap — b — ap—b b .

P ( — ap — b) — ( — ap — a — b) P 4- a 0

qui est encore la racine de l’équation — «ax— b=o. (Arith. et A!g. 199).

naître le degré d’approximation auquel on est parvenu, mais bientôt nous donnerons un moyen de l’apprécier.

Prenons , en second lieu , l’équation x' — 7 x + 7 = 0,

traitée ( 343 , 349 ) et qui , pour les substitutions,

donne les résultats

dont les différences sont

i ereî —6 , — 6 ,0 , la

a emcs o,^ 6, la

3 emeJ 6 6-

il est assez naturel de soupçonner l’existence de deux racines entre les substitutions 1 et a , et comme elles auraient même partie entière-+- 1, on posera a; = 1 -4-z, hypothèse qui donne la transformée

laquelle, sous l’aperçu précédent, aurait deux racines z entre les substitutions oet 1 qui donnent -t- 1. Pour séparer ces deux valeurs de z , ou pour qu’elles ne restent plus comprises entre les deux mêmes nombres, on fera ioz = /, d’oùz=— i et on aura

f* -+- 3 o t' — 4 oo t -t- 1000 = o, et aux hypothèses

t— o, =1, — a, = 3 , =4 etc.

répondent ces résultats

diff. i ere ’..- — 36g — 3o3 — a3i

diff. 2 emes +66 + 7 a

diff. 3 emes +6

on conclut de la ligne des résultats, prolongée au moyen des diiférences, deux valeurs de t, l’une en tre 3 et 4 > l’autre entre 6 et 7 qui donnent les résultats— io 4 et 17 : conséquemment

'io ’ 1 10 ’ '5

mais si pour avoir une valeur plus approchée de la racine t dont la partie entière est 3 , on emploie, comme ci-dessus, la correction donnée par la règle de fausse position, on aura

d’où l’on conclut