VS

Soit encore à évaluer : après avoir trouvé que cette racine qui revient à V / '^6666 eic. a pour ses quatre premiers chiffres 2,768 = 0, je carre ce nombre, ce qui donne a'= 7,661 8a4 qui ôté de 7,6666 etc. ,

donne pour reste b = o, 004776 : donc ^

= o,o# 086 a 58 a 34 o,et de là

264. Nous allons donner une série annoncée (217) au moyen de laquelle on peut calculer commodément le logarithme d’un nombre.

Le développement de ( i-\- b) m que nous venons de démontrer dans tous le cas de l’exposant m, jouit de cette singulière propriété que si on l’ordonne suivant les puissances de l’exposant m , le coefficient de m offre le développement du logarithme de 1 -4- b, suivant les puissances de b. En effet, si on effectue les opérations indiquées dans les coéfficiens , et qu’on groupe séparément les termes multipliés par m, m * , m 1 etc. , on trouvera

(H-A)«=H- (b— 7 + | — «te.

+ B m‘ -+- Cm 1 + etc.

où B , C, D etc., représentent des suites infinies qui n’entreront pas en considération. Posons , k

A — b h-* r+ etc.

et examinons ce que deviennent, en même temps, (1 + b) m et m A, lorsqu’on attribue une suite de valeurs à m : aux hypothèses

m= o, =1 =2 =3 —k — 5 etc.

répondent pour mA , ces valeurs

o A , 1 A, *A , 3 A, 4 A, 5 A etc.

et pour (i-+-Æ) m , celles-ci

( I -h b)o, (, -t- by , (r -h b )' , (n- A/ , ( I -H i)‘ , (1 + *)* etc : mais de ce que les valeurs de mA forment une progression arithmétique, quand celles de ( 1 -+- b ) m forment une progression géométrique, il suit de la définition de logarithmes donnée (Arith. et Ch. XVI) que

mA — l (1 + b) m = ml(i+b),

d’où

/(i +B) = A=b- b l + b l - b l -}- etc».

l désignant logarithme pour une base qui n’est pas encore connue, et que nous noterons par e. Mais en posant i •+-£>=«, on a, démontré (aao) qu’il existe entre les logarithmes de n sur les bases a et e, la relation

donc, en supposant a= io , et remplaçant n par i-f-A et In par son développement que nous venons d’obtenir, on aura

log ( I +*) = J" [ h - ~ -(- y — ~ + etc. ] (A').

On observera que /. to serait donné par la série ( n ) en y faisant b = ÿ: mais d’abord nous chercherons à rendre les séries (n) et (N) convergentes. A cet effet, quant à la série (IV) , nous changerons b en — b , ce qui donnera

l °s ('-*)- rh [“ b ~t ~ y - : t “ etc -]-W>

si de (N) on retranche (IV) , il viendra (ai4)

Posant,

1 = i H — , dou b=

on aura par cette substitution dans (P ) , log =log (n+i)— log n =