QUI DEVIENNENT ^ DANS UNE SEULE HYPOTHÈSE
a65. Tout résultat tel que ~ donné par deux ou
plusieurs hypothèses, annonce une indétermination, ainsi qu’on l’a vu (61,79,198,221,231,); mais lorsqu’il est dû à une seule hypothèse, l’expression qui l’a donné , admet une valeur unique qui est un nombre, zéro ou l’infini, comme on en a vu des exemples (61,171,203,249). Lorsqu’il est des casque certaines formules 11e peuvent représenter , on en
est encore averti par ce symbole ^ , comme on le
voit (249), et comme on le reconnaîtra (Chapitre XXV). On trouve (Cal. des fonctions 3 e édit.) cette remarque de Lagrange , qui n’avait pas été faite
avant lui : cette expression ^ est toujours le symptôme d’un changement de fonctions : c’est ce qu’on trouvera confirmé principalement dans les traités de calcul différentiel et intégral.
a66. Soit une fraction m
P(x — a ^ Q(x — af
dans laquelle P et Q sont des expressions en x, qui ne deviennent pas nulles pour une même valeur attribuée à x : cette fraction, en y faisant x — a ,
devient On observe cependant que suivant qu’on
a l’une ou l’autre de ces trois relations
m > n , m—n , m <n, la valeur de y prend l’une de ces formes P(x — a )' n —‘ * P ' P
et que , pour x=a, on a ces valeurs
y= jr= - — oc-
Ainsi , pour obtenir , dans chaque cas , la valeur vraie de la fraction , on serait naturellement conduit à chercher le plus grand commun diviseur entre ses deux termes, et après avoir divisé haut et bas par ce plus grand diviseur , on ferait l'hypothèse dansla fraction réduite : mais outre que cette mé- - thode est pénible , il est des cas dans lesquels elle n’est pas immédiatement applicable. L’analyse suivante , fondée sur la méthode des indéterminées, s’étend à toutes les formes de la fonction y. Soit donc
fx Fx ’
y et F désignant des fonctions ou des expressions en x qui deviennent uulles, en même temps, pour une valeur particulière x = a. Pour obtenir la valeur vraie , on fera x = a+i dans /x et Fx, puis par la méthode du chapitre précédent, on développera J\a+i), et F(a+i) suivant les puissances ascendantes de i, et on trouvera
/(a+î)=.'A +Bl -t-etc.
F(a+i)= A' + Bi+ Ci 1 + B +etc ,
les coéfficiens A, B , C, etc., A , B , C , etc., étant indépendans de i : or , en observant que , pour i=o, les fonctions non développées se réduisent àyâ = o, Fa = o, et que les développemens se réduisent le premier à A et le second à A' , on conclura A = o , A' — o ; donc, après la division par i t
f (a + i) B 4 - Ci +Di‘ 4 -Eû 4-etc.
F(a+i) ~~ B 4- Ci+DC+E0+ etc” »
faisons maintenant dans cette identité j = o, on trouvera cette valeur vraie
%s’il arrive que B et B' soient encore nuis tous deux en même temps , on supprimera ces quantités dans les deux termes du développement précédent qui, après la division par i, deviendra
(û4i1 C4Û(4É(’4CtC.
F(a+i) C 4- Di+ E i 1 4 - etc. *
faisant de nouveau i—o, on obtiendra
que si l’on a encore, en même temps, C—o ,
on supprimera ces quantités dans le développement précédent qui , après la division des deux termes par i, et sous l’hypothèse i=o, deviendra
Il n’est pas à craindre qu’on ait indéfiniment D—o et B —o, C=oet C= o, D—otlD — o etc. :
car s’il en était ainsi , on aurait
or, ces équations ne pouvant être satisfaites que par un nombre déterminé de valeurs de i,et égal au degré de chacune d’elles en i , comme nous le démontrerons dans un des chapitres suivans , il s’ensuit que la quantité i ne serait plus indéterminée ou variable, comme le supposent les développemens ci-dessus d ef(a+i) et F{a + i) qui doivent rester vrais dans toutes les hypothèses faites sur i. Donc on parviendra tôt ou tard à la valeur vraie de ^?,qui sera un nombre, zéro ou l’infini : le premier cas aura lieu lorsqu’il y aura même nombre de coéfficiens^, B, C, etc. A', B\ C’ etc. qui deviendront nuis : le second, lorsqu’il y aura un plus grand nombre des premiers que^ des seconds qui s’anéantiront , et enfin le troisième,
, lorsqu’il y aura moins des premiers coéfficiens nuis que des seconds.
Il peut arriver , comme on le prouvera dans le calcul différentiel , que les développemens &ef\a 4 - i), F ( a -j- i ) soient de la forme
/{a -f- i) ~Ai m + Bi n 4 - Ci P 4 - etc.
F [a 4 - i) — A'i'f- 4-5'iv 4-C’/(*4- etc.
/«, «,/> ctc.j(4,v,it etc. étant des nombres entiers ou
fractionnaires, positifs ou négatifs, mais croissans : on aurait alors
f{a -H C) Ai m -\-B i n -4- Ci p 4- etc.
F{a + c) A iv- + B i-> C i* 4- etc:
alors suivant qu’on aura m > (/, , w* = (/., m <jt,on divisera haut et bas par i>, par i m , ce qui donnera l’un de ces trois développemens.
f{a + 1) A i m ~v- H- Bi n i* -f- etc.
F(a + i) fa - 4 - i)
A -+- Bù—v- + etc.
J +Bi»— m +e te.
F(a-hi)'
A +>5Vv— m -f-etc.
A +Bi\r~ "-i- etc.
F(a-i-i ) Ap— n -t- B'ft— m -t- etc.
où tous les exposans sont positifs : faisant maintenant i=o , pour en revenir à la valeur particulière
x = a, et à la fraction ~ a - qu’il s’agit d’évaluer, on
trouvera y=o, ou y — ou y= - = ».
Nous allons appliquer cette méthode à quelques exemples.
On sait (Chap. XV) que la somme de n termes de la progression par équi-quotiens, est
■+. jt"— « = .
i — JC
pour x= i , cette somme devient
cependant , dans ce cas , le terme sommatoire se produit sous la forme - : pour obtenir sa valeur vraie,
on fera x = a-{- i= i *, et on aura, d’après la formule du binôme,
réduisant, divisant haut et bas par i et faisant i=o,
pour en revenir à x=i , on trouve-^— = n.
Reprenons la fraction
b\c — \Jcd)
trouvée (249) et qui devient pour c=d. On fera,
conformément à la méthode , c = d 1, d’où résulte b[d-\-i—\Jd'~dT\
or, d’après ce qui a été démontré (261), on a
di — d 7 (d-+- i) 7 = d-+- t i -+- P i' Qi * -t- R i* -4- etc :
substituant cette valeur dans celle de a: , et réduisant, il vient
x = b [x — * (P-h + etc. ) ] ; faisant 1 = 0, la valeur de x se réduit à
résultat obtenu (n° cité)
Passons à un autre exemple. La fraction,
( x — aÿ
devient encore - pour x~a: par la substitution de a-k-i pour x, elle se change en (aar-t-i*)*
(aa-t-i)* >
posant i—o, pour en revenir à x = a, on trouve
y— (2 assoit, en troisième lieu, la fraction \/ x-’-V' a- 4 -
dont on demande encore la valeur vraie correspondante à x = a , supposition dans laquelle y — Sous l’hypothèsè .r — a-f-J, le numérateur devient
fit
— V'a- 1- v'i = — fl’ >
= »• H — 77-+ etc, a l/a
et le dénominateur
W'ïjâô+ï) =i T (aa-H') v = (aat) 7 + ^ ^ = 4- etc:
en sorte que
etc.
(aa)* i* +
a Va
. a V^aa
etc.
etc.
a l^aa
etc.
après la division des deux termes par i : posant maintenant i=o, on a
f\a) (aa)*
Qu’on ait eniin à évaluer la fraction nx”-*-' — (n+ i)x"-+- 1 r “ (-*+!)•
qui est le terme sommatoire de la suite
i +.ax-4-3x* +4x 5 + +nx»-<
et qui devient - pour jc= i : on fera donc z= t-fi
dont la substitution donnera
n — (iM- i)-+- 1 [n(rH-i) — n(n+i)]t
r«’fn+i) — n(n ' — i)]i*
— -t-etc:
les deux premières fractions étant nulle» d’ellesmêmes par les coéfficiens de i , on les supprimera : réduisant les termes suivans et faisant i=o , on tombe sur cette valeur vraie de la proposée, savoir
somme de n termes de la suite par différences égales, i-+-a+3+4+ • • • .+/i, laquelle est la proposée pour x= i.
Si l’on a le produit
jr=P*Q t
P et Q étant des expressions en x , et qu’une cer-
taine valeur de x donne P=o, Q= — , on fera
R= — d’où Q— i : d’après cela, et en obser- (J R
vant que /J=o, on a
jr~PX.Q =
pour la même valeur de x.
Supposons enfin
y —P — Qi
P et Q ayant même acception que ci-dessus : si pour une même valeur de x, chacune des fonctions P et Q devient infinie, nécessairement si elles sont algébriques, c’est-à-dire, si elles ne renferment pas
ÉLÉ& 1 ENS D’ALGEBRE. 347
de logarithmes , d’exponentielles , de lignes trigonométriques , etc. , P et Q seront des fractions dont les dénominateurs deviendront nuis dans l’hypothèse actuelle : si on les réduit au même dénominateur, et qu’on ajoute les deux fractions, on en aura une qui, pour la même valeur de x , deviendra
^ et dont on sait assigner la valeur vraie.
De la. composition «es équations numériques.
367. En traitant (Chap. XIV, 6 e Quest.) la question générale des annuités, et en supposant connus le capital , l’annuité et le nombre des années , auquel cas il restait à découvrir le taux i de l’intérêt, nous avons été conduits à cette équation générale ,
jifr+Bù*—'- *+Di *~ *+ +F=o;
d’une autre part, parmi les solutions comprises dans les tableaux qui terminent le dix-neuvième chapitre, on rencontre encore des équations d’un degré quelconque. Qu’on se propose par exemple, de retrouver le module du système de numération dans lequel le nombre 1730 écrit dans le système décimal, est figuré par 5 oai : en désignant par * la base ou le module inconnu de ce système , on aura (G 3 , 80, 108 et 109) l’équation
5x’ +ox' + 1 — ifto :
et on conçoit que de telles questions peuvent conduire à des équations de tous les degrés.
268. Pour conserver la notation adoptée , nous continuerons à représenter l’inconnue par x , et en supposant que la plus haute puissance de x soitm, auquel cas l’équation est dite du degré m (195) , nous aurons ce type général des équations de tous les degrés
x m -\-Àx m — l + Bx m — *+Cx m — 5 + -t-Tx+F—o...(i):
m étant un nombre entier absolu, et A, B , C..... T , F, des nombres entiers dont les signes peuvent être quelconques. Ici nous supposons que la plus haute puissance de l’inconnue, soit positive et qu’elle ait pour coefficient l’unité , parce que , comme nous le verrons (Cbap. XXIII), on peut toujours ramener l'équation à cet état, les autres coéfficiens restant des nombres entiers : lorsque l’équation est complète, les coéfficiens A, B... F sont en nombre m.
2G9. Nous avons déjà défini racine d’une équation tout nombre qui écrit en place de l’inconnue, réduit le premier membre à zéro, c’est-à-dire, l’équation à la forme 0 = 0, bien entendu que tous les termes soient transposés dans un seul membre. Résoudre une équation , c’est en trouver les racines: ces racines peuvent être assignées exactement, lorsqu’elles sont commensurables , ou par approximation, lorsqu’elles sont incommensurables : lorsqu’une racine est exacte , elle réduit rigoureusement le premier membre à zéro ; lorsqu’elle n’est qu’approchée , elle donne un résultat peu différent de zéro, et d’autant plus petit que l’approximation est plus grande.
