Théorème I. Si un nombre a (*) écrit en place

(*) a représente la valeur numérique de la racine, y compris le signe, en sorte que si le polynôme est réduit à zéro par —7, la lettre a représentera —7.

ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 3/ f 9

de x dam ( i ) , satisfait à cette équation , c'est-à-dire, s’il réduit rigoureusement le premier membre à zéro, ce premier membre sera exactement divisible par x — a.

Désignons par X le polynôme qui forme le premier membre de l’équation (i) : on pourra toujours pousser la division de X par x — a , jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste R indépendant de x , puisque le diviseur x — a est du premier degré en x, en sorte que représentant par Q le quotient correspondant , on aura (a54), l’identité

or, l’hypothèse x = a, réduit le polynôme X à zéro, et la même substitution donne Q(x — a)=o; mais d’ailleurs R est indépendant de x : donc R — o,

d’où on conclut que la division se fait sans reste.

Il est clair que cette conclusion n’a plus lieu , lorsque a n’est pas une racine , parce ou’alors le polynôme X n’est plus réduit à zéro par x = a , et qu’il devient en a ce qu’il était en x : mais comme on a toujours Q(x — a)=o , il s'ensuit que (d)=R,

(><) désignant ce que devient X pour x — a. On peut donc composer le reste de la division du polynôme X par x — a , sans effectuer cette opération.

Réciproquement, si le premier membre dune équation dont le second est zéro , est exactement divisible par x — a , le nombre a est une racine.

En effet, on a, dans cette hypothèse, l’identité X=zQ(x—a),

qui, pour x = a dans le second membre, donne X — o. Donc a est une racine.

35o CHAPITRE XXII.

Que si le polynôme X n’est pas divisible par x— a, comme alors on peut toujours parvenir à un reste indépendant de * et que nous désignerons par R , on aura l’identité

en sorte que, pour x=a, on obtient

{A) étant composé en a exactement de la même manière que X l’est en x.

D'Alembert est le premier qui ait démontré le principe précédent d’une manière rigoureuse; nous allons en donner, d’après Lagrange , une démonstration aussi exacte, mais plus complète, en ce sens qu’elle prouve non-seulement que la division doit réussir , mais eucore quelle réussit actuellement et généralement.

Le nombre a étant toujours une racine en nombre et en signe, donnera par sa substitution dans (i),

a m +Aa m —*+Ba m —*+Ca m —*+ -*-7’a+A r — 0 ...(a);

d’où l’on déduit

V— — (a m +Aa m — l + Ba m ~ i -+- J'a)....(3) :

substituant cette valeur pour V dans (i), et effectuant les réductions , il viendra

résultat auquel on parviendra plus brièvement en retranchant (a) de (i), membre à membre ; or, comme (a) n’est autre chose que o — o, il s’ensuit que l’équation (4) est identiquement la même que(i). Mais m étant un nombre entier, on a démontré (a5q) que.

(as — o)^- 1 +ax m - i +a'x n ~ i + -t-a»*— *] ( 5 )

on a pareillement

(x — a) \x m ~ y + ax m — i + a ’ x m ~ i + +a m ~ r ] (6)

(x — a)[x m ~ 3 +ax m —*-ha'x m — s + +a m ~ 3 ] (7)

etc.

Remplaçant dans ( 4 ) x m — a m , x m ~ l — a m ~ l etc., par les décompositions ( 5 ), (6) , (7), etc., on aura

X—(x — a)[x m — t + J 4 ’x m — *-\-Bx m ~ i + -4-7'] (8),

les coéfficiens A ' , B ' , C'..... T étant

B = a'-\-Aa-\-B C = cl 1

T—a n — l -{-Aa' n -*+Ca m — i + + T:

d’ailleurs la décomposition (8) a été trouvée par une autre voie (a6o’l, dans l’hypothèse de x — a diviseur de X , qui revient à celle de a racine.

Qu’outre le nombre a, il existe un autre nombre b différent de a qui satisfasse encore à l’équation (1); l’hypothèse x—b réduira nécessairement à zéro, le second nombre de l’identité (8), et conséquemment elle rendra nul le polynôme

x m —‘+Ax m — 1 + T = X;

et on prouvera comme précédemment que X'—(x — b)[x m ~*+A'x'*~ i -{-B'x m — *+.... 4-5"].... (9)

35 a CHAPITRE XXII.

les coéfficiens A" , B" S' étant

A' = b+A B'=b'+Ab+B

C = b'+Ab'+Bb+C

S' = b m ~*+Ab n — i +Cb m ~ 4 -J- 4 - 5 ;

en sorte que

En continuant le même raisonnement , on prouvera que si c, d,f, etc. , sont d’autres racines de l’équation (i), inégales entr’elles et différentes de a et de £, le polynôme X sera divisible exactement par le produit

(x — a)(x — b)(x — c)(x — d)(x—f,) etc.

Lorsque £ = a, le second membre de (8) devient nul, à la vérité, par le facteur x — a qui devient alors b — a=a — a ; mais comme le second facteur

x m— 4- T—X devient nul, sous la

même hypothèse , d’après (g) , puisqu’il renferme le facteur x — b qui devient b — b , on voit que le ca* de plusieurs racines égales ne modifie en rien l’analyse précédente. Au reste, lorsque deux racines sont égales , on peut toujours supposer qu’il existe cntr’elles une différence qu’on égale à zéro dans le résultat du calcul : en sorte qu’icion ferait b=a-\-i, puis dans (9), on supposerait i=o, ce qui ramènerait à b=a.

Le nombre a n’étant plus racine, on n’aura plus l’équation (a); en sorte que l’équation (4) et les conséquences qui en résultent, cesseront d’avoir lieu.

27 t. Théorème II. Le produit de deux ou de plusieurs facteurs simples tels que x — a, x — b, x — c, etc.,

ÉLÉMENS D’ALGÈURh'. 353

ne peut être divisé exactement par un facteur simple , qu autant que ce facteur est un de ceux qui ont concouru à former le produit.

Soient M etvV deux facteurs algébriques dont le produit MN , soit divisible par x — a : je dis que l’qn, au moins, de ces facteurs, sera divisible par x — a. En effet, soit exécuté, autant que possible, la division de M par x — a ; le reste R ne contiendra plus x , et on aura (270)

M= P(x — a)+R ; sous la même condition , on aura IV—Q(x —

S ne renfermant plus donc

MIV—P()(x—a)‘+(QR+PS) (x—a)+RS.

Or, puisque MN est divisible par x — a , il faut que RS soit nul ou divisible par x — a ; mais R et S ne renfermant pas x , la seconde condition est impossible; donc on doit avoir RS = o , d’où 5=o ou S=o. Ainsi la division par x — a soit de M , soit de N , doit se faire exactement.

Coroll. I. Il suit de là que si une formule algébrique, est le produit de plusieurs facteurs simples x — a , x — b , x — c , etc. , et qu’un facteur simple x — h divise exactement ce produit , ce facteur x — h est identique avec quelques-uns des facteurs x — a, x——b , x — c , etc.

Coroll. II. Si le premier membre de l’équation X=o, est une fois décomposé en m facteurs simples , on ne saurait le décomposer en m facteurs simples différens des premiers ; il est donc possible qu’une équation du degré m , ait m facteurs simples ou m racines ; mais elle ne peut en comporter un plus grand nombre.

354 CHAPITRE XXIL

Remarque. Le corollaire premier peut encore être démontré directement, c’est-à-dire, indépendamment du théorème. Tout se réduit , en effet , à prouver l’absurdité de cette prétendue identité

qui, pour a; — a, devient

(a — a )[a™— 7']=ro

d’où l’on conclurait que le produit d’une suite de nombres tous différens de zéro, est égal à zéro.

27 a. U résulte de ces deux théorèmes i° quun polynôme est exactement divisible par chacun des facteurs simples correspondans à chacune des racines ou des valeurs de P inconnue ; a° qu'une équation peut admettre un nombre de racines , égal à son degré , mais qu'on ne peut en supposer au-delà ; 3° que la décomposition d un polynôme en fadeurs du premier degré , se réduit à la résolution d’une équation J ormée de ce polynôme égalé à zéro; 4 ° que si ion découvre d'une manière quelconque la substitution à faire pour une lettre dans un polynôme , à l'effet de le rendre nul, cette lettre moins la quantité substituée , sera un diviseur exact du polynôme : nous ferons de ce dernier principe un fréquent emploi dans r un des chapitres suivons (*).

(*) Soit N un nombre entier quelconque écrit dans le système de numération dont a est 1a base : concevons qu’on ait partagé ce nombre , en allant de droite à gauche , en tranches de m chiffre* , chacune , sauf la dernière de gauche qui pourra en avoir moins; et soient , en allant aussi de droite à gauche, , J t , A t , A ces tranches considérées comme autant

273 . Jusqu’ici nous avous supposé les racines, et, pour chacune d'elles, nous avons conclu l’existence d’un facteur ou d’un diviseur formé de l’inconnue

de nombres isolés : on aura

-k-À a rn -t-A a? ,n -+-A etc.

équation qui peut être mise sous les trois formes suivantes

jf, (1)

Nz=A , (a m — 1 )-+-A , (a 5m — 1 \+-A , ^ m ■ — 1 Y+- etc.

,-\-A ,-\-A,~ t-ctc (a)

Nz= A , (a m -f- 1 \-\-A , [a ™ — 1 ) +A , (a 3m -f- 1 )-*- etc.

-cic.)— (A t +A t +A ( 3 ).

Ou observe que la première partie du second membre de (i), est divisible par a m ; que celle du second membre de (a) est divisible par a' n — t , puisque l’hypolhcse a m — l=o, qui donne rf* m =i , a 3 m | e(Cij en an éantit tous les termes; enfin que la première partie du second membre ( 31 , est divisible par «"M-i , parce qu’en effet de a m -4-i — o , on tire a m — — r , a’ m = i,n îm = — i etc. De là on tire ces conclusions par rapport à tout système de numération.

l° Le reste de la division d’un nombre quelconque, par un diviseur quelconque de la mr me puissance de la base du système, est le même que celui qu’on obtient, en divisant sa première tranche de m chiffres à droite, par ce diviseur.

a° Le reste de la division d’un nombre quelconque, par un diviseur quelconque , qui soit le plus grand nombre de m chiffres, est le meme que celui qu’on obtient, en divisant la somme de set tranches de m chiffres, par ce diviseur.

3 ° Le reste de la division d’un nombre quelconque , par l’un quelconque des diviseurs de la m tme puissance de la base, augmentée dune unité, est le même que celui qu’on obtient en divisant par le même diviseur, la somme des tranches de m chiffres de rangs impairs , moins la somme des tranches de m chiffres de rangs pairs.

Si l’on suppose m = 1 , on retombe sur les caractères connus de divisibilité par a, 3 , 5 , q , 9, 11 (Chap. VIH.)

moins la racine. Nous allons maintenant , et d’apres Lagrange , présenter la chose d’une manière inverse. L’esprit du calcul algébrique , dit cet illustre géo- * mètre , qui est indépendant de valeurs particulières qu’on peut donner aux quantités , permet de regarder tout polynôme x m +Ax" , ^- 1 -i-Bx m — *+... .-t -f r , comme formé du produit d’autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant m du degré de ce polynôme , considération qui fournit cette identité

x m -\-Ax m — * » 4 - ..-t -F—{x — a)(x — b)(x — c) etc.

laquelle doit avoir lieu indépendamment de toute valeur de x. C’est uniquement dans cette transformation des polynômes que consiste la théorie des équations. Les relations que nous allons découvrir entre les coéfficiens A, B, C , etc., et les quantités a, b , c, etc. qui représentent des valeurs numériques, y compris les signes convenables, constituent les propriétés générales des équations. Lors donc qu’ôn fait l’hypothèse précédente, il reste à déterminer les quantités a, b, c, etc., ou les seconds % termes des facteurs, d’après la condition que l’identité posée ait lieu. Ainsi, dans cette analyse, on suppose les facteurs et on conclut les racines. Si l’on effectue les multiplications indiquées, et que l’on compare les coéfliciens des mêmes puissances de x (a56), on aura ces relations

(i °)...A— — (a + b + c-bd+ etc.)

(a°)...2?= ab + ac + ad + etc.